Как решаем. Для каждого слова находим орфограмму — место, где можно ошибиться, — определяем правило (приставка, корень, суффикс, окончание или спряжение) и решаем, какую букву вставить. Затем выбираем номера слов, где пишется буква «О».

(1) большим — буква «о»: безударная проверяемая гласная в корне — подбираем проверочное слово, где она под ударением; проверяем «бОльше»

(2) пробирался — буква «о»: неизменяемые приставки пишутся всегда одинаково независимо от произношения (с-, по-, до-, под-, над-, об-, от-, пере- и др.); неизменяемая приставка про-

(3) тяжёлой — буква «ё»: О/Ё после шипящих: в корне под ударением обычно Ё (есть проверка на Е); в суффиксах и окончаниях существительных и прилагательных под ударением — О, без ударения — Е; о/ё после шипящей в корне → Ё (тяжесть)

(4) ношей — буква «е»: О/Ё после шипящих: в корне под ударением обычно Ё (есть проверка на Е); в суффиксах и окончаниях существительных и прилагательных под ударением — О, без ударения — Е; окончание сущ. после шипящей без ударения → Е

(5) чащобу — буква «о»: О/Ё после шипящих: в корне под ударением обычно Ё (есть проверка на Е); в суффиксах и окончаниях существительных и прилагательных под ударением — О, без ударения — Е; суффикс -об- после шипящей под ударением → О

(6) посвежевшем — буква «е»: безударное окончание прилагательного/причастия проверяем вопросом от существительного (какой? какому? какие?); «в воздухе (каком?) посвежевшем» → -ем

(7) чувствовалось — буква «о»: гласная в суффиксе глагола: если в форме 1-го лица суффикс выпадает (-ую/-юю), пишем -ова-/-ева-; если сохраняется — -ыва-/-ива-; суффикс -ова- (чувствую) → -ова-

(8) казалось — буква «о»: окончание глагола (краткого причастия) прошедшего времени по роду и числу: средний род → -о, женский → -а, множественное → -и; «мне казалось» — средний род → -ось

(9) ночёвка — буква «ё»: О/Ё после шипящих: в корне под ударением обычно Ё (есть проверка на Е); в суффиксах и окончаниях существительных и прилагательных под ударением — О, без ударения — Е; суффикс -ёвк- от глагола (ночевать) → Ё

Итог. Буква «О» нужна в словах под номерами 1, 2, 5, 7, 8.