Как решаем. Для каждого слова находим орфограмму — место, где можно ошибиться, — определяем правило (приставка, корень, суффикс, окончание или спряжение) и решаем, какую букву вставить. Затем выбираем номера слов, где пишется буква «Е».

(1) пещеру — буква «е»: непроверяемая (словарная) гласная в корне — запоминаем написание; словарное «пещера»

(2) склоне — буква «е»: безударное падежное окончание существительного — определяем склонение и падеж; сущ., предложный падеж → -е

(3) тяжёлая — буква «я»: безударная проверяемая гласная в корне — подбираем проверочное слово, где она под ударением; проверяем «тЯжесть»

(4) никогда — буква «и»: НЕ/НИ со словом: слитно или раздельно по части речи и условиям (зависимое слово, противопоставление, частица); наречие «никогда», приставка ни- безударная → И

(5) запиралась — буква «и»: чередующаяся гласная в корне: выбор буквы зависит от суффикса -а-, конечной согласной корня, ударения или значения (бер/бир, стел/стил, тер/тир, мер/мир, лаг/лож, кас/кос, раст/ращ/рос, гар/гор, зар/зор, клан/клон, скак/скоч и т.п.); корень -пер-/-пир-: есть суффикс -а- → -пир-

(6) мраке — буква «е»: безударное падежное окончание существительного — определяем склонение и падеж; сущ., предложный падеж → -е

(7) глядеть — буква «я»: безударная проверяемая гласная в корне — подбираем проверочное слово, где она под ударением; проверяем «взглЯд»

(8) освещённую — буква «е»: безударная проверяемая гласная в корне — подбираем проверочное слово, где она под ударением; проверяем «свЕт»

(9) увлекательно — буква «е»: безударная проверяемая гласная в корне — подбираем проверочное слово, где она под ударением; проверяем «увлЕчь»

Итог. Буква «Е» нужна в словах под номерами 1, 2, 6, 8, 9.