Как решаем. Для каждого слова находим орфограмму — место, где можно ошибиться, — определяем правило (приставка, корень, суффикс, окончание или спряжение) и решаем, какую букву вставить. Затем выбираем номера слов, где пишется буква «Е».

(1) месяц — буква «я»: непроверяемая (словарная) гласная в корне — запоминаем написание; словарное «месяц»

(2) глубине — буква «и»: суффикс существительного: -ек- (беглая е при склонении) / -ик- (гласная сохраняется); -чик-/-щик-; суффикс -ин- (глубина)

(3) шевелились — буква «е»: непроверяемая (словарная) гласная в корне — запоминаем написание; словарное «шЕвелится»

(4) ни — буква «и»: НЕ/НИ со словом: слитно или раздельно по части речи и условиям (зависимое слово, противопоставление, частица); «не шевелились ни листиком» — частица НИ

(5) листочек — буква «е»: суффикс существительного: -ек- (беглая е при склонении) / -ик- (гласная сохраняется); -чик-/-щик-; суффикс -ек (беглая е: листочка)

(6) воздухе — буква «е»: безударное падежное окончание существительного — определяем склонение и падеж; сущ., предложный падеж → -е

(7) привлечь — буква «и»: приставки ПРЕ-/ПРИ- по значению: ПРИ- — приближение, присоединение, неполнота действия, близость; ПРЕ- — значение «очень» или близкое к ПЕРЕ-; приставка при- (притянуть)

(8) внимание — буква «и»: непроверяемая (словарная) гласная в корне — запоминаем написание; словарное «внимание»

(9) замерло — буква «е»: чередующаяся гласная в корне: выбор буквы зависит от суффикса -а-, конечной согласной корня, ударения или значения (бер/бир, стел/стил, тер/тир, мер/мир, лаг/лож, кас/кос, раст/ращ/рос, гар/гор, зар/зор, клан/клон, скак/скоч и т.п.); корень -мер-/-мир-: нет суффикса -а- → -мер-

Итог. Буква «Е» нужна в словах под номерами 3, 5, 6, 9.