Как решаем. Для каждого слова находим орфограмму — место, где можно ошибиться, — определяем правило (приставка, корень, суффикс, окончание или спряжение) и решаем, какую букву вставить. Затем выбираем номера слов, где пишется буква «И».

(1) дальний — буква «и»: безударное окончание прилагательного/причастия проверяем вопросом от существительного (какой? какому? какие?); «берег (какой?) дальний» → -ий

(2) берег — буква «е»: безударная проверяемая гласная в корне — подбираем проверочное слово, где она под ударением; проверяем «побЕрежье»

(3) тумане — буква «е»: безударное падежное окончание существительного — определяем склонение и падеж; сущ., предл. падеж → -е

(4) сумерках — буква «е»: непроверяемая (словарная) гласная в корне — запоминаем написание; словарное «сумерки» (сумеречный)

(5) наступающего — буква «е»: безударное окончание прилагательного/причастия проверяем вопросом от существительного (какой? какому? какие?); причастие, род. падеж м. рода (какого?) → -его

(6) вечера — буква «е»: безударная проверяемая гласная в корне — подбираем проверочное слово, где она под ударением; проверяем «вЕчер»

(7) побеждая — буква «е»: безударная проверяемая гласная в корне — подбираем проверочное слово, где она под ударением; проверяем «побЕда»

(8) медленно — буква «е»: гласная в суффиксе прилагательного (-ев-/-ив-, -чив-/-лив-, -еньк-/-оньк- и т.п.); корень медл-, суффикс -енн-

(9) приближаясь — буква «и»: безударная проверяемая гласная в корне — подбираем проверочное слово, где она под ударением; проверяем «блИже»

Итог. Буква «И» нужна в словах под номерами 1, 9.