Как решаем. Для каждого слова находим орфограмму — место, где можно ошибиться, — определяем правило (приставка, корень, суффикс, окончание или спряжение) и решаем, какую букву вставить. Затем выбираем номера слов, где пишется буква «Е».

(1) предвкушал — буква «е»: неизменяемые приставки пишутся всегда одинаково независимо от произношения (с-, по-, до-, под-, над-, об-, от-, пере- и др.); неизменяемая приставка пред-

(2) ливень — буква «е»: суффикс существительного: -ек- (беглая е при склонении) / -ик- (гласная сохраняется); -чик-/-щик-; беглая гласная е (ливень — ливня)

(3) хлынет — буква «е»: безударное личное окончание глагола: у глаголов I спряжения пишем Е (-ешь, -ет, -ем, -ете, -ют/-ут), у II спряжения — И (-ишь, -ит, -им, -ите, -ат/-ят); «хлынуть» — I спряжение → -ет

(4) зноем — буква «е»: безударное падежное окончание существительного — определяем склонение и падеж; сущ. «зной», тв. падеж → -ем

(5) потихоньку — буква «и»: безударная проверяемая гласная в корне — подбираем проверочное слово, где она под ударением; проверяем «тИхо»

(6) пошелестели — буква «е»: безударная проверяемая гласная в корне — подбираем проверочное слово, где она под ударением; проверяем «шЕлест»

(7) слились — буква «и»: безударная проверяемая гласная в корне — подбираем проверочное слово, где она под ударением; проверяем «слИться»

(8) падения — буква «и»: безударное падежное окончание существительного — определяем склонение и падеж; сущ. на -ие, род. падеж → -ия

(9) медленнее — буква «е»: гласная в суффиксе прилагательного (-ев-/-ив-, -чив-/-лив-, -еньк-/-оньк- и т.п.); сравнительная степень, суффикс -ее

Итог. Буква «Е» нужна в словах под номерами 1, 2, 3, 4, 6, 9.