Колебания — Задание 26 ЕГЭ по физике №00048425

Что здесь происходит. Грузик в центре обруча растянут крестом из четырёх пружин. Его сдвигают на $2$ см вдоль оси $X$, по которой идут две ненатянутые пружины, и отпускают. Возвращают грузик к центру все четыре пружины: ненатянутые — потому что одна растянулась, а другая сжалась, натянутые — потому что слегка повернулись и их натяжение получило составляющую вдоль $X$. Найдём угловую частоту колебаний и запишем закон движения.

Обоснование. Систему отсчёта, связанную с обручем (с Землёй), считаем инерциальной и применяем второй закон Ньютона; грузик — материальная точка. Плоскость гладкая и горизонтальная: трения нет, поэтому колебания не затухают, а сила тяжести и реакция плоскости вертикальны, взаимно уравновешены и в уравнение движения вдоль $X$ не входят. Пружины невесомые, их силы направлены вдоль их осей; ненатянутые подчиняются закону Гука как при растяжении, так и при сжатии. Смещение ($2$ см) мало по сравнению с радиусом ($100$ см): длины натянутых пружин практически не меняются, а угол их поворота мал, поэтому возвращающая сила пропорциональна смещению. Отсюда же следует, что частота колебаний не зависит от того, насколько именно (в пределах малого) сместили грузик.

Рисунок сил при смещении на $x$ вверх по оси $X$: пружина 2 сжата и толкает грузик вниз, пружина 4 растянута и тянет его вниз; натянутые пружины 1 и 3 тянут грузик к точкам крепления, и у их сил появляются составляющие, направленные к центру.

Шаг 1 — ненатянутые пружины. Каждая даёт силу $kx$ против смещения, вместе $-2kx$.

Шаг 2 — натянутые пружины. Каждая повернулась на малый угол $\varphi$, $\sin\varphi\approx\dfrac{x}{R}$ (при $x=2$ см и $R=100$ см это $0{,}02$). Натяжение остаётся равным $T$, составляющая вдоль $X$ равна $T\dfrac{x}{R}$; от двух пружин $-\dfrac{2T}{R}x$.

Шаг 3 — уравнение движения:

$$mx''=-\left(2k+\dfrac{2T}{R}\right)x\quad\Rightarrow\quad\omega^2=\dfrac{2k+\frac{2T}{R}}{m}=\dfrac{2\cdot2+\frac{2\cdot2}{1}}{2}=\dfrac{4+4}{2}=4\ \text{с}^{-2}.$$

$$\omega=2\ \text{рад/с}.$$

Это уравнение гармонических колебаний $x''=-\omega^2x$: здесь роль $\omega^2$ играет отношение суммарной «жёсткости» к массе.

Шаг 4 — начальные условия. При $t=0$ грузик в крайнем положении $x_0=0{,}02$ м и покоится — амплитуда равна $x_0$, закон движения через косинус:

$$x(t)=0{,}02\cos(2t)\ \text{(м)}.$$

Проверим себя. Размерность: $\dfrac{T}{R}$ — это ньютон на метр, как у жёсткости $k$, поэтому слагаемые $2k$ и $\dfrac{2T}{R}$ складываются законно; здесь они равны ($4$ Н/м и $4$ Н/м), то есть натянутые пружины вносят такой же вклад, как ненатянутые. При $t=0$ получаем $x=0{,}02$ м и нулевую скорость. Период колебаний $\dfrac{2\pi}{2}=\pi\approx3{,}14$ с.

Проверим и энергией. По закону движения наибольшая скорость $\upsilon_{\max}=\omega x_0=2\cdot0{,}02=0{,}04$ м/с, кинетическая энергия в центре $\dfrac{m\upsilon_{\max}^2}{2}=\dfrac{2\cdot0{,}04^2}{2}=1{,}6\cdot10^{-3}$ Дж. В момент старта ненатянутые пружины запасли $2\cdot\dfrac{kx_0^2}{2}=2\cdot0{,}02^2=0{,}8\cdot10^{-3}$ Дж. Каждая натянутая пружина при сдвиге удлинилась на $\sqrt{R^2+x_0^2}-R\approx\dfrac{x_0^2}{2R}=\dfrac{0{,}02^2}{2\cdot1}=2\cdot10^{-4}$ м, и её энергия выросла на $T\cdot\dfrac{x_0^2}{2R}=2\cdot2\cdot10^{-4}=0{,}4\cdot10^{-3}$ Дж, у двух — $0{,}8\cdot10^{-3}$ Дж. Всего $1{,}6\cdot10^{-3}$ Дж — столько же, сколько кинетическая энергия в центре.