Колебания — Задание 26 ЕГЭ по физике №00048383
Колебания
№2. Задание 26
ID: 00048383
На гладкой горизонтальной плоскости лежит закреплённый обруч радиусом $R=50$ см, в центре которого покоится грузик массой $m=1$ кг, к которому прикреплены четыре невесомые пружины (№ 1–4), другие концы которых прикреплены к обручу через равные угловые промежутки по $90^\circ$ (см. рисунок). Две пружины напротив друг друга натянуты с одинаковыми силами $T=1$ Н, а две остальные не натянуты и имеют одинаковые коэффициенты упругости $k=1$ Н/м.
Грузик смещают вдоль оси $X$, направленной перпендикулярно натянутым пружинам, на малое расстояние $x_0=1$ см от положения равновесия и отпускают без начальной скорости в момент времени $t=0$. Запишите закон движения грузика вдоль оси $X$. Какие законы Вы использовали для описания движения грузика? Обоснуйте их применимость к данному случаю.
Источник: СтатГрад 19.10.2021
Решение
Что здесь происходит. Грузик в центре обруча держат четыре пружины крестом. Вдоль оси $X$ идут две ненатянутые пружины, поперёк — две натянутые. Грузик сдвигают вдоль $X$ на $1$ см и отпускают. Его тянут обратно и ненатянутые пружины (одна растянулась, другая сжалась), и натянутые (они слегка повернулись). Возвращающая сила окажется пропорциональной смещению — значит, грузик будет гармонически колебаться. Нужно найти угловую частоту и записать закон движения.
Обоснование. Систему отсчёта, связанную с обручем (с Землёй), считаем инерциальной и применяем второй закон Ньютона. Грузик — материальная точка. Плоскость гладкая и горизонтальная: трения нет, сила тяжести и сила реакции плоскости вертикальны и уравновешивают друг друга, движение вдоль $X$ определяют только пружины. Пружины невесомые: сила упругости одинакова по всей длине пружины и направлена вдоль её оси; для ненатянутых пружин работает закон Гука (при сжатии пружина толкает, при растяжении тянет). Смещение мало по сравнению с радиусом ($1$ см против $50$ см), поэтому длины натянутых пружин практически не меняются, и все силы можно считать пропорциональными смещению.
Рисунок сил при смещении на $x$ вдоль оси $X$. Пружина 2 сжата на $x$ и толкает грузик назад, пружина 4 растянута на $x$ и тянет его назад; пружины 1 и 3 натянуты силой $T$ и направлены от грузика к точкам крепления на обруче.
Шаг 1 — ненатянутые пружины. Каждая даёт силу $kx$ против смещения, вместе:
$$F_1=-2kx.$$
Шаг 2 — натянутые пружины. После сдвига на $x$ каждая натянутая пружина повёрнута на малый угол $\varphi$, где $\sin\varphi\approx\dfrac{x}{R}$. Длина пружины стала $\sqrt{R^2+x^2}\approx R+\dfrac{x^2}{2R}$ — изменение второго порядка малости ($0{,}01$ мм при $x=1$ см), поэтому натяжение остаётся равным $T$, и жёсткость этих пружин не нужна. Составляющая каждой вдоль $X$ равна $T\sin\varphi\approx\dfrac{Tx}{R}$ и направлена к центру; от двух пружин:
$$F_2=-\dfrac{2T}{R}x.$$
Шаг 3 — уравнение движения. По второму закону Ньютона
$$mx''=-\left(2k+\dfrac{2T}{R}\right)x\quad\Rightarrow\quad x''=-\omega^2x,\qquad \omega^2=\dfrac{2k+\frac{2T}{R}}{m}.$$
Это уравнение гармонических колебаний. Подставим числа: $2k=2$ Н/м, $\dfrac{2T}{R}=\dfrac{2\cdot1}{0{,}5}=4$ Н/м:
$$\omega^2=\dfrac{2+4}{1}=6\ \text{с}^{-2},\qquad \omega=\sqrt6\approx2{,}45\ \text{рад/с}.$$
Шаг 4 — начальные условия. В момент $t=0$ грузик в крайнем положении $x_0=0{,}01$ м и без скорости. Этому соответствует косинус с амплитудой $x_0$ и нулевой начальной фазой:
$$x(t)=x_0\cos\omega t=0{,}01\cos\left(\sqrt6\,t\right)\ \text{(м)}.$$
Проверим себя. При $t=0$: $x=0{,}01$ м, скорость $x'=-0{,}01\sqrt6\sin0=0$ — совпадает с условием. Без натяжения ($T=0$) работали бы только ненатянутые пружины, и $\omega=\sqrt2\approx1{,}41$ рад/с; натянутые пружины добавляют «жёсткости», поэтому у нас частота больше. Период $\dfrac{2\pi}{\sqrt6}\approx2{,}57$ с.