ID: 00016164
В тепловом двигателе 1 моль гелия совершает цикл 1–2–3–4–1, показанный на графике в координатах $p$–$T$, где $p$ — давление газа, $T$ — абсолютная температура. Температуры в точках 2 и 4 равны и превышают температуру в точке 1 в 3 раза. Определите КПД цикла.
Ответ дайте в процентах, округлите до десятых.
Источник: Сборник Гиголо
КПД — это $\eta=A/Q_1$: работа за цикл, делённая на тепло, полученное от нагревателя. В осях $p$–$T$ наклонные прямые через начало координат — это изохоры (ведь $p/T=const$ при $V=const$), а горизонтальные линии — изобары. Переведём цикл в привычные оси $p$–$V$, там он окажется прямоугольником, и всё легко посчитается.
1→2 и 3→4 — изохоры, 2→3 и 4→1 — изобары. По закону Шарля на изохоре 1→2: $T_2=3T_1\Rightarrow p_2=3p_1$. По закону Гей-Люссака на изобаре 4→1: $T_4=3T_1\Rightarrow V_4=3V_1$. Получаем в осях $p$–$V$ прямоугольник: давление меняется от $p_1$ до $3p_1$, объём — от $V_1$ до $3V_1$.
Работа за цикл — площадь прямоугольника: $A=(3p_1-p_1)(3V_1-V_1)=4p_1V_1=4RT_1$ (для 1 моль $p_1V_1=RT_1$). Тепло газ получает на изохоре 1→2 ($Q_{12}=\tfrac{3}{2}R\cdot 2T_1=3RT_1$) и на изобаре 2→3 ($Q_{23}=\tfrac{5}{2}R(T_3-T_2)$, где $T_3=9T_1$, значит $Q_{23}=15RT_1$). Итого $Q_1=18RT_1$.
$\eta=\dfrac{4RT_1}{18RT_1}=\dfrac{2}{9}\approx 0{,}222=22{,}2\%$.