Задание 11 Базовая Математика №00051062
Рёбра, грани и вершины
№2. Задание 11
ID: 00051062
Плоскость, проходящая через точки $A$, $B$ и $C$ (см. рисунок), разбивает треугольную призму на два многогранника. Сколько вершин у получившегося многогранника с бо́льшим числом граней?
Источник: Сборник Ященко 2027
Решение
По рисунку призма стоит на основании, одна её боковая вершина смотрит вперёд. Точка $A$ — середина ребра верхнего основания между левой и передней вершинами, $B$ — середина ребра верхнего основания между передней и правой вершинами, $C$ — середина нижнего ребра прямо под $B$.
Точки $B$ и $C$ лежат одна над другой, поэтому плоскость вертикальна и режет призму сверху донизу. Она проходит через $A$ и $B$ на верхнем основании и через $C$ на нижнем, а ещё пересекает нижнее ребро прямо под точкой $A$ — назовём эту точку $D$. Сечение — прямоугольник $ABCD$.
От призмы отрезается маленькая треугольная призма у переднего бокового ребра — у неё $5$ граней. У оставшейся части основания — четырёхугольники (треугольник основания без срезанного уголка), это четырёхугольная призма, у неё $4+2=6$ граней — больше.
Вершины большей части: из $6$ вершин исходной призмы отрезаны две передние (верхняя и нижняя), остались $4$, и добавились $4$ точки сечения $A$, $B$, $C$, $D$:
$$4+4=8.$$
Проверим себя формулой Эйлера: у четырёхугольной призмы $8$ вершин, $12$ рёбер и $6$ граней, $8-12+6=2$ — сходится.