Задание 11 Базовая Математика №00051061
Рёбра, грани и вершины
№2. Задание 11
ID: 00051061
Плоскость, проходящая через точки $A$, $B$ и $C$ (см. рисунок), разбивает куб на два многогранника. Сколько рёбер у получившегося многогранника с бо́льшим числом граней?
Источник: Сборник Ященко 2027
Решение
По рисунку точка $A$ — середина верхнего переднего ребра куба, $B$ — середина правого ребра верхней грани, $C$ — середина правого ребра нижней грани. Точки $B$ и $C$ лежат одна над другой на правой грани, поэтому отрезок $BC$ вертикален, и плоскость сечения тоже вертикальна: она режет куб сверху донизу.
Плоскость пересекает верхнюю грань по отрезку $AB$, переднюю грань — по вертикали через $A$, правую грань — по отрезку $BC$, а нижнюю — по отрезку, параллельному $AB$. От куба отрезается прямая треугольная призма у переднего правого вертикального ребра.
Оставшаяся часть — тоже прямая призма. Её основание — верхняя грань куба без срезанного треугольного уголка: у квадрата срезан один угол, получился пятиугольник.
Граней у пятиугольной призмы $5+2=7$, а у отрезанной треугольной — $3+2=5$, поэтому многогранник с бо́льшим числом граней — пятиугольная призма. Её рёбра: по $5$ в каждом из двух оснований и $5$ боковых:
$$5+5+5=15.$$
Проверим себя формулой Эйлера $\text{В}-\text{Р}+\text{Г}=2$: у пятиугольной призмы $10$ вершин, $15$ рёбер и $7$ граней, $10-15+7=2$ — сходится.