ID: 00032854
Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное $12$, произведение цифр которого равно $40$. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.
Источник: ФИПИ
Число делится на $12$ тогда и только тогда, когда оно делится и на $4$, и на $3$ одновременно — эти два условия нужно проверять отдельно.
Сначала подберём четыре цифры (каждая от $1$ до $9$), произведение которых равно $40$. Разложим $40$ на четыре множителя: $40=1\cdot2\cdot4\cdot5$ — все четыре числа однозначные, подходят.
Проверим делимость на $3$: сумма цифр $1+2+4+5=12$, а $12$ делится на $3$ — условие выполнено для любой перестановки этих цифр.
Осталось расставить цифры так, чтобы делимость на $4$ тоже выполнялась — для этого число, составленное из двух ПОСЛЕДНИХ цифр, само должно делиться на $4$. Из наших цифр $24$ делится на $4$ ($24=4\cdot6$), поэтому ставим $2$ и $4$ в конец, а оставшиеся $1$ и $5$ — в начало.
Получаем число $1524$. Проверим: $1524:12=127$ — делится без остатка, произведение цифр $1\cdot5\cdot2\cdot4=40$ — тоже верно.