Задание 19 ЕГЭ по математике №00043806

Знак $a$ решает всё: он определяет, куда смотрит «уголок» $y=a|x|-\left|\dfrac a2\right|$.

$a=0$. Обе линии — ось $Ox$, ограниченной фигуры нет.

$a\gt0$. Уголок $y=a|x|-\dfrac a2$ с вершиной $V\left(0;-\dfrac a2\right)$ смотрит вверх. Прямая $y=\dfrac a2x+a$ положе его ветвей и пересекает обе:

— правая ветвь: $ax-\dfrac a2=\dfrac a2x+a\iff\dfrac a2x=\dfrac{3a}{2}\iff x=3$, точка $\left(3;\dfrac{5a}{2}\right)$;

— левая ветвь: $-ax-\dfrac a2=\dfrac a2x+a\iff-\dfrac{3a}{2}x=\dfrac{3a}{2}\iff x=-1$, точка $\left(-1;\dfrac a2\right)$.

Фигура — треугольник. Ось $Oy$ режет его на два треугольника с общей стороной на оси: от вершины $V$ до точки $(0;a)$, где прямая пересекает ось. Длина этой стороны $a+\dfrac a2=\dfrac{3a}{2}$, а высоты — расстояния до оси от точек пересечения: $3$ и $1$. Площадь:

$$S=\dfrac12\cdot\dfrac{3a}{2}\cdot(3+1)=3a.$$

Условие $6\lt3a\le12$ даёт $2\lt a\le4$.

$a\lt0$. Теперь $\left|\dfrac a2\right|=-\dfrac a2$, уголок $y=a|x|+\dfrac a2$ с вершиной $\left(0;\dfrac a2\right)$ смотрит вниз. Пересечения с прямой:

— правая ветвь: $ax+\dfrac a2=\dfrac a2x+a\iff x=1$;

— левая ветвь: $-ax+\dfrac a2=\dfrac a2x+a\iff-\dfrac{3a}{2}x=\dfrac a2\iff x=-\dfrac13$.

Общая сторона на оси $Oy$ — от $\left(0;\dfrac a2\right)$ до $(0;a)$, длина $\left|a-\dfrac a2\right|=\dfrac{|a|}{2}$. Высоты $1$ и $\dfrac13$:

$$S=\dfrac12\cdot\dfrac{|a|}{2}\cdot\left(1+\dfrac13\right)=\dfrac{|a|}{3}.$$

Условие $6\lt\dfrac{|a|}{3}\le12$ даёт $18\lt|a|\le36$, то есть $-36\le a\lt-18$.

Проверим площадь при $a=1$ по формуле площади треугольника через координаты вершин $(0;-0{,}5)$, $(3;2{,}5)$, $(-1;0{,}5)$: $\dfrac12\left|0\cdot(2{,}5-0{,}5)+3(0{,}5+0{,}5)+(-1)(-0{,}5-2{,}5)\right|=\dfrac12\cdot6=3=3a$. Сходится.