Задание 18 ЕГЭ по математике №00002494

Здесь требуется не число корней, а ПЛОЩАДЬ фигуры между двумя линиями. Обе линии зависят от $a$: прямая $y=\dfrac{a}{2}x+2a=\dfrac{a}{2}(x+4)$ и «галка» $y=a|x|+|a|$.

Сначала найдём точки пересечения. Разберём $a\gt 0$ (тогда $|a|=a$): уравнение $a|x|+a=\dfrac{a}{2}x+2a$ после деления на $a$ даёт $|x|-\dfrac{x}{2}=1$; для $x\ge0$ это $x=2$, для $x\lt 0$ — $x=-\dfrac23$.

Между этими точками прямая идёт выше «галки», поэтому площадь — это интеграл их разности:

$$S=\int_{-2/3}^{2}\Big(\tfrac{a}{2}x+2a-a|x|-a\Big)\,dx=\dfrac43\,a.$$

Получилось, что при $a\gt 0$ площадь равна $\dfrac43 a$ — она просто пропорциональна $a$ (это понятно: обе линии «масштабируются» вместе с $a$). Аналогично для $a\lt 0$ точки пересечения $x=-2$ и $x=6$, а площадь равна $12|a|=-12a$.

Теперь условие «площадь меньше $7$, но не меньше $3$», то есть $3\le S\lt 7$. Для $a\gt 0$: $3\le\dfrac43 a\lt 7$, откуда $\dfrac94\le a\lt \dfrac{21}{4}$. Для $a\lt 0$: $3\le-12a\lt 7$, откуда $-\dfrac{7}{12}\lt a\le-\dfrac14$.