Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00043748

Разность двух модулей не меньше единицы. Раскроем модули на участках, где выражения под ними сохраняют знак.

ОДЗ. $(2x+1)^2\gt0$: $x\neq-0{,}5$; $1-x\gt0$: $x\lt1$.

Первый логарифм. $9=3^2$, $(2x+1)^2=|2x+1|^2$, поэтому $\log_9(2x+1)^2=\log_3|2x+1|$.

Обозначим $A=\log_3|2x+1|-1$ и $B=\log_3(1-x)-3$. Нужно $|A|-|B|\ge1$.

Знаки. $A\ge0$ при $|2x+1|\ge3$; при $x\lt1$ это $x\le-2$. $B\ge0$ при $1-x\ge27$, то есть $x\le-26$.

Участок $x\le-26$. $A\ge0$, $B\ge0$: $A-B\ge1$:

$$\log_3|2x+1|-1-\log_3(1-x)+3\ge1\ \Longleftrightarrow\ \log_3\dfrac{|2x+1|}{1-x}\ge-1\ \Longleftrightarrow\ \dfrac{-2x-1}{1-x}\ge\dfrac13.$$

$1-x\gt0$: $-6x-3\ge1-x$, $-5x\ge4$, $x\le-0{,}8$. Весь участок подходит.

Участок $-26\lt x\le-2$. $A\ge0$, $B\lt0$: $A+B\ge1$:

$$\log_3\left(|2x+1|(1-x)\right)\ge5\ \Longleftrightarrow\ (-2x-1)(1-x)\ge243\ \Longleftrightarrow\ 2x^2-x-244\ge0.$$

$D=1+8\cdot244=1953=9\cdot217$, $\sqrt D=3\sqrt{217}$, корни $\dfrac{1\pm3\sqrt{217}}{4}$. Подходит $x\le\dfrac{1-3\sqrt{217}}{4}$ или $x\ge\dfrac{1+3\sqrt{217}}{4}$. Так как $14\lt\sqrt{217}\lt15$, левый корень лежит между $-11$ и $-10{,}25$ — внутри участка. Правый корень положителен и участку не принадлежит.

На участке: $-26\lt x\le\dfrac{1-3\sqrt{217}}{4}$. Вместе с первым участком: $x\le\dfrac{1-3\sqrt{217}}{4}$.

Участок $-2\lt x\lt1$, $x\neq-0{,}5$. $A\lt0$, $B\lt0$: $-A+B\ge1$:

$$1-\log_3|2x+1|+\log_3(1-x)-3\ge1\ \Longleftrightarrow\ \log_3\dfrac{1-x}{|2x+1|}\ge3\ \Longleftrightarrow\ 1-x\ge27|2x+1|.$$

Если $-0{,}5\lt x\lt1$: $1-x\ge54x+27$, $55x\le-26$, $x\le-\dfrac{26}{55}$. Получаем $-0{,}5\lt x\le-\dfrac{26}{55}$ (и $-\dfrac{26}{55}\approx-0{,}473\gt-0{,}5$).

Если $-2\lt x\lt-0{,}5$: $1-x\ge-54x-27$, $53x\ge-28$, $x\ge-\dfrac{28}{53}$. Получаем $-\dfrac{28}{53}\le x\lt-0{,}5$ (и $-\dfrac{28}{53}\approx-0{,}528$).

Объединяем все участки: $\left(-\infty;\dfrac{1-3\sqrt{217}}{4}\right]\cup\left[-\dfrac{28}{53};-0{,}5\right)\cup\left(-0{,}5;-\dfrac{26}{55}\right]$.

Проверим себя на точке $x=-0{,}49$ рядом с выколотой $-0{,}5$: $|2x+1|=0{,}02$, $|\log_3 0{,}02-1|\approx4{,}56$; $|\log_3 1{,}49-3|\approx2{,}64$; разность $\approx1{,}92\ge1$ — верно. На $x=-11$: $|\log_3 21-1|\approx1{,}77$, $|\log_3 12-3|\approx0{,}74$, разность $\approx1{,}03\ge1$ — верно.