Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00043747

Сумма двух модулей не больше $3$. Модули мешают, поэтому разобьём ось на участки, где выражения под модулями сохраняют знак, и на каждом раскроем модули.

ОДЗ. $(x+1)^2\gt0$, то есть $x\neq-1$; $2x+3\gt0$, то есть $x\gt-1{,}5$.

Упростим первый логарифм. $(x+1)^2=|x+1|^2$, $4=2^2$, поэтому $\log_4(x+1)^2=\dfrac{2\log_2|x+1|}{2}=\log_2|x+1|$.

Обозначим $A=\log_2|x+1|-2$ и $B=\log_2(2x+3)-1$. Нужно $|A|+|B|\le3$.

Где меняются знаки. $A=0$ при $|x+1|=4$, то есть $x=3$ ($x=-5$ вне ОДЗ). $A\lt0$ при $|x+1|\lt4$. $B=0$ при $2x+3=2$, то есть $x=-0{,}5$; $B\lt0$ при $x\lt-0{,}5$.

Участок $-1{,}5\lt x\lt-0{,}5$, $x\neq-1$. Здесь $A\lt0$ и $B\lt0$: $-A-B\le3$, то есть

$$3-\log_2|x+1|-\log_2(2x+3)\le3\ \Longleftrightarrow\ |x+1|(2x+3)\ge1.$$

Но на этом участке $|x+1|\lt0{,}5$ и $2x+3\lt2$, произведение меньше $0{,}5\cdot2=1$. Решений нет.

Участок $-0{,}5\le x\le3$. $A\le0$, $B\ge0$: $-A+B\le3$:

$$2-\log_2(x+1)+\log_2(2x+3)-1\le3\ \Longleftrightarrow\ \log_2\dfrac{2x+3}{x+1}\le2\ \Longleftrightarrow\ \dfrac{2x+3}{x+1}\le4.$$

$x+1\gt0$, умножаем: $2x+3\le4x+4$, $x\ge-0{,}5$. Подходит весь участок.

Участок $x\gt3$. $A\gt0$, $B\gt0$: $A+B\le3$:

$$\log_2(x+1)+\log_2(2x+3)\le6\ \Longleftrightarrow\ (x+1)(2x+3)\le64\ \Longleftrightarrow\ 2x^2+5x-61\le0.$$

$D=25+4\cdot2\cdot61=25+488=513$, корни $\dfrac{-5\pm\sqrt{513}}{4}$. Подходит $x\le\dfrac{\sqrt{513}-5}{4}$. Так как $22\lt\sqrt{513}\lt23$, эта граница между $4{,}25$ и $4{,}5$ — правее $3$.

На участке: $3\lt x\le\dfrac{\sqrt{513}-5}{4}$.

Объединяем: $\left[-0{,}5;\dfrac{\sqrt{513}-5}{4}\right]$.

Проверим себя на $x=-0{,}5$: $|\log_2 0{,}5-2|+|\log_2 2-1|=3+0=3\le3$ — верно. На $x=-0{,}75$: $|\log_2 0{,}25-2|=4\gt3$ — уже не подходит.