Расстояние… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00043695

Пирамида правильная, вершина проектируется в центр квадрата $O$. Сначала найдём положение точки $N$ на высоте $SO$, затем — где прямая $a$ встречает ребро $SA$. В пункте б найдём общий перпендикуляр скрещивающихся прямых $DK$ и $SC$.

Пункт а. Точка $N$ лежит на $DK$ и в плоскости $SAC$, а значит, на прямой $SO$ — по ней плоскость $SAC$ пересекает плоскость $SBD$, в которой лежит $DK$.

В треугольнике $SBO$ прямая $DK$ пересекает сторону $SB$ в точке $K$, сторону $SO$ в точке $N$ и продолжение стороны $BO$ в точке $D$. По теореме Менелая

$$\dfrac{SK}{KB}\cdot\dfrac{BD}{DO}\cdot\dfrac{ON}{NS}=1.$$

Здесь $SK=KB$, а $BD=2DO$ (точка $O$ — середина $BD$). Получаем $1\cdot2\cdot\dfrac{ON}{NS}=1$, то есть $ON:NS=1:2$.

Прямая $a$ лежит в плоскости $SAC$ и параллельна $SC$; пусть она пересекает $AC$ в точке $P$. Из подобия треугольников $ONP$ и $OSC$: $\dfrac{OP}{OC}=\dfrac{ON}{OS}=\dfrac13$. Значит, $AP=AO+OP=\dfrac43AO$ и $\dfrac{AP}{AC}=\dfrac{4/3}{2}=\dfrac23$.

Прямая $a$ пересекает $SA$ в точке $Q$, и $PQ\parallel SC$. По теореме о пропорциональных отрезках в треугольнике $SAC$: $\dfrac{AQ}{AS}=\dfrac{AP}{AC}=\dfrac23$, поэтому $SQ:QA=1:2$. Что и требовалось доказать.

Пункт б. Координаты: начало в $O$, оси параллельны сторонам квадрата, $Oz$ — по $OS$. Половина стороны $\sqrt3$: $B(\sqrt3;-\sqrt3;0)$, $C(\sqrt3;\sqrt3;0)$, $D(-\sqrt3;\sqrt3;0)$, $S(0;0;9)$, $K\left(\dfrac{\sqrt3}{2};-\dfrac{\sqrt3}{2};\dfrac92\right)$.

Направления: $\overrightarrow{DK}=\left(\dfrac{3\sqrt3}{2};-\dfrac{3\sqrt3}{2};\dfrac92\right)$, сокращаем на $\dfrac{3\sqrt3}{2}$: $\vec u=(1;-1;\sqrt3)$. $\overrightarrow{SC}=(\sqrt3;\sqrt3;-9)$, сокращаем на $\sqrt3$: $\vec v=(1;1;-3\sqrt3)$.

Найдём общий перпендикуляр. Точки прямых: $X=D+t\vec u=(-\sqrt3+t;\ \sqrt3-t;\ \sqrt3t)$ и $Y=S+s\vec v=(s;\ s;\ 9-3\sqrt3s)$. Вектор

$$\overrightarrow{XY}=\left(s-t+\sqrt3;\ s+t-\sqrt3;\ 9-3\sqrt3s-\sqrt3t\right).$$

Условие $\overrightarrow{XY}\cdot\vec u=0$: $(s-t+\sqrt3)-(s+t-\sqrt3)+\sqrt3(9-3\sqrt3s-\sqrt3t)=0$, то есть $-2t+2\sqrt3+9\sqrt3-9s-3t=0$, или $9s+5t=11\sqrt3$.

Условие $\overrightarrow{XY}\cdot\vec v=0$: $(s-t+\sqrt3)+(s+t-\sqrt3)-3\sqrt3(9-3\sqrt3s-\sqrt3t)=0$, то есть $2s-27\sqrt3+27s+9t=0$, или $29s+9t=27\sqrt3$.

Решаем систему: из первого уравнения, умноженного на $9$, и второго, умноженного на $5$: $81s+45t=99\sqrt3$ и $145s+45t=135\sqrt3$. Вычитая, $64s=36\sqrt3$, $s=\dfrac{9\sqrt3}{16}$; тогда $5t=11\sqrt3-\dfrac{81\sqrt3}{16}=\dfrac{95\sqrt3}{16}$, $t=\dfrac{19\sqrt3}{16}$.

Подставляем: $\overrightarrow{XY}=\left(\dfrac{9\sqrt3-19\sqrt3+16\sqrt3}{16};\ \dfrac{9\sqrt3+19\sqrt3-16\sqrt3}{16};\ 9-\dfrac{81}{16}-\dfrac{57}{16}\right)=\left(\dfrac{6\sqrt3}{16};\ \dfrac{12\sqrt3}{16};\ \dfrac{6}{16}\right)=\left(\dfrac{3\sqrt3}{8};\dfrac{3\sqrt3}{4};\dfrac38\right).$

Длина: $|\overrightarrow{XY}|^{2}=\dfrac{27}{64}+\dfrac{27}{16}+\dfrac{9}{64}=\dfrac{27+108+9}{64}=\dfrac{144}{64}$, $|\overrightarrow{XY}|=\dfrac{12}{8}=1{,}5$.

Проверим вторым способом. Вектор $\overrightarrow{XY}$ пропорционален $\vec n=(\sqrt3;2\sqrt3;1)$, $|\vec n|=4$. Плоскость через $D$ с этой нормалью: $\sqrt3x+2\sqrt3y+z-3=0$ (проверка $K$: $\dfrac32-3+\dfrac92-3=0$). Расстояние от $S$: $\dfrac{|9-3|}{4}=1{,}5$. Совпало. И оно правдоподобно: не больше расстояния между точками $D$ и $C$ этих прямых, $DC=2\sqrt3\approx3{,}46$.