Расстояние… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00043694

Пирамида правильная: в основании квадрат, вершина $S$ проектируется в его центр $O$. Пункт а — про положение прямой $a$, а пункт б как раз на нём держится: прямая $a$ параллельна $SC$ и пересекает $DK$, значит, через $DK$ и $a$ проходит плоскость, параллельная $SC$.

Пункт а. Введём координаты с началом в $O$ и осями вдоль диагоналей квадрата: ось $Ox$ — по $OC$, ось $Oy$ — по $OD$, ось $Oz$ — по $OS$. Пусть $OC=OD=r$, $SO=h$: $A(-r;0;0)$, $B(0;-r;0)$, $C(r;0;0)$, $D(0;r;0)$, $S(0;0;h)$. Тогда плоскость $SAC$ — это плоскость $y=0$.

Середина $SB$: $K\left(0;-\dfrac r2;\dfrac h2\right)$. Точки прямой $DK$: $D+t\cdot\overrightarrow{DK}=\left(0;\ r-\dfrac{3r}{2}t;\ \dfrac h2t\right)$. Условие $y=0$ даёт $t=\dfrac23$, и $N\left(0;0;\dfrac h3\right)$ — точка высоты $SO$ на трети высоты.

Прямая $a$: точки $N+u\cdot\overrightarrow{SC}=\left(ur;\ 0;\ \dfrac h3-uh\right)$. Прямая $SA$: точки $A+v\cdot\overrightarrow{AS}=\left(-r+vr;\ 0;\ vh\right)$. Приравниваем: $ur=-r+vr$ и $\dfrac h3-uh=vh$, то есть $u=v-1$ и $\dfrac13-(v-1)=v$, откуда $v=\dfrac23$.

Точка $Q=A+\dfrac23\overrightarrow{AS}$ лежит на ребре, $AQ=\dfrac23AS$, $SQ=\dfrac13AS$, то есть $SQ:QA=1:2$. Что и требовалось доказать.

Пункт б. Плоскость $\beta$, проходящая через пересекающиеся прямые $DK$ и $a$, параллельна $SC$ (она содержит прямую $a\parallel SC$). Поэтому расстояние между $DK$ и $SC$ равно расстоянию от любой точки прямой $SC$ до плоскости $\beta$.

Теперь числа: $AB=2$, $SO=3$. Удобно взять оси параллельно сторонам квадрата: $A(-1;-1;0)$, $B(1;-1;0)$, $C(1;1;0)$, $D(-1;1;0)$, $S(0;0;3)$, $K\left(\dfrac12;-\dfrac12;\dfrac32\right)$.

$\overrightarrow{DK}=\left(\dfrac32;-\dfrac32;\dfrac32\right)$ — сократим на $\dfrac32$: направление $(1;-1;1)$. $\overrightarrow{SC}=(1;1;-3)$.

Нормаль $\vec n=(p;q;s)$ плоскости $\beta$ перпендикулярна обоим направлениям:

$$p-q+s=0,\qquad p+q-3s=0.$$

Сложив, получаем $2p-2s=0$, то есть $p=s$, и тогда $q=p+s=2s$. Возьмём $s=1$: $\vec n=(1;2;1)$, $|\vec n|=\sqrt6$.

Плоскость через $D(-1;1;0)$: $(x+1)+2(y-1)+z=0$, то есть $x+2y+z-1=0$. Проверка точкой $K$: $\dfrac12-1+\dfrac32-1=0$.

Расстояние от $S(0;0;3)$:

$$\rho=\dfrac{|0+0+3-1|}{\sqrt6}=\dfrac{2}{\sqrt6}=\dfrac{\sqrt6}{3}.$$

Проверим другой точкой прямой $SC$ — точкой $C(1;1;0)$: $\dfrac{|1+2+0-1|}{\sqrt6}=\dfrac{2}{\sqrt6}$. Совпало — значит, прямая $SC$ действительно параллельна $\beta$ и нормаль найдена верно.