Задание 11 ЕГЭ по математике №00042059
Задачи на прогрессии
№2. Задание 11
ID: 00042059
Васе надо решить 245 задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днём. Известно, что за первый день Вася решил 11 задач. Определите, сколько задач решил Вася в последний день, если со всеми задачами он справился за 7 дней.
Источник: Сборник Ященко 2027
Решение
Ежедневная прибавка постоянна, поэтому числа задач по дням — арифметическая прогрессия: $a_1=11$, $n=7$, $S_7=245$. Обозначим разность (ежедневную прибавку) $d$.
Членами прогрессии будут $a_1,\ a_1+d,\ a_1+2d,\ \dots,\ a_1+6d$. Их сумма:
$$S_7=7a_1+(0+1+2+\dots+6)d=7\cdot11+21d=77+21d.$$
$$77+21d=245\;\Rightarrow\;21d=168\;\Rightarrow\;d=8.$$
В последний, седьмой день:
$$a_7=a_1+6d=11+6\cdot8=59.$$
Проверю формулой суммы через крайние члены: $\dfrac{a_1+a_7}{2}\cdot7=\dfrac{11+59}{2}\cdot7=35\cdot7=245$. По дням: $11,\ 19,\ 27,\ 35,\ 43,\ 51,\ 59$. Верно.