Задание 11 ЕГЭ по математике №00042058
Задачи на прогрессии
№2. Задание 11
ID: 00042058
Саше надо решить 130 задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днём. Известно, что за первый день Саша решил 14 задач. Определите, сколько задач решил Саша в последний день, если со всеми задачами он справился за 5 дней.
Источник: Сборник Ященко 2027
Решение
Каждый день Саша решает на одно и то же число задач больше, чем накануне, — значит, числа задач по дням образуют арифметическую прогрессию. Первый член $a_1=14$, членов $n=5$, сумма $S_5=130$.
Сумма арифметической прогрессии равна полусумме первого и последнего членов, умноженной на число членов:
$$S_5=\dfrac{a_1+a_5}{2}\cdot5=130\;\Rightarrow\;a_1+a_5=\dfrac{130\cdot2}{5}=52.$$
Отсюда в последний день:
$$a_5=52-14=38.$$
Проверю через разность $d$: $S_5=5a_1+(0+1+2+3+4)d=70+10d=130$, откуда $d=6$, и $a_5=14+4\cdot6=38$. По дням: $14,\ 20,\ 26,\ 32,\ 38$; сумма $130$. Верно.