Вычисление… — Задание 8 ЕГЭ по математике №00042002

Запишем все числа через простые основания $3$ и $5$: $9=3^2$, $45=9\cdot5=3^2\cdot5$.

Тогда $9^{\frac23}=\left(3^2\right)^{\frac23}=3^{\frac43}$ — при возведении степени в степень показатели перемножаются.

Возводим произведение в $21$-ю степень — каждый множитель отдельно:

$$\left(5^{\frac47}\right)^{21}=5^{\frac47\cdot21}=5^{12},\qquad \left(3^{\frac43}\right)^{21}=3^{\frac43\cdot21}=3^{28}.$$

Знаменатель: $45^{12}=\left(3^2\cdot5\right)^{12}=3^{24}\cdot5^{12}$ — в степень возводятся оба множителя.

$$\dfrac{5^{12}\cdot3^{28}}{3^{24}\cdot5^{12}}=5^{12-12}\cdot3^{28-24}=1\cdot3^4=81.$$

Проверка без перехода к тройке: $\left(9^{\frac23}\right)^{21}=9^{14}$, $45^{12}=5^{12}\cdot9^{12}$, и дробь равна $\dfrac{5^{12}\cdot9^{14}}{5^{12}\cdot9^{12}}=9^2=81$.