Задание 5 ЕГЭ по математике №00041926

Каждая луковица прорастает независимо от других с вероятностью $p=0{,}8$ и не прорастает с вероятностью $q=1-0{,}8=0{,}2$. Это схема Бернулли: $13$ независимых испытаний с одной и той же вероятностью успеха.

По формуле Бернулли вероятность того, что из $13$ луковиц прорастёт ровно $k$:

$$P_{13}(k)=C_{13}^{k}\cdot0{,}8^{k}\cdot0{,}2^{13-k}.$$

Здесь $C_{13}^{k}$ — число способов выбрать, какие именно $k$ луковиц прорастут, $0{,}8^{k}$ — все они проросли, $0{,}2^{13-k}$ — остальные не проросли.

Записываю обе вероятности: $P_{13}(8)=C_{13}^{8}\cdot0{,}8^{8}\cdot0{,}2^{5}$ и $P_{13}(5)=C_{13}^{5}\cdot0{,}8^{5}\cdot0{,}2^{8}$.

Числа сочетаний равны: $C_{13}^{8}=C_{13}^{5}$, ведь выбрать $8$ проросших луковиц — то же самое, что выбрать $5$ непроросших. В отношении они сокращаются.

Степени с одинаковым основанием делю, вычитая показатели:

$$\dfrac{P_{13}(8)}{P_{13}(5)}=\dfrac{0{,}8^{8}\cdot0{,}2^{5}}{0{,}8^{5}\cdot0{,}2^{8}}=\dfrac{0{,}8^{3}}{0{,}2^{3}}=\left(\dfrac{0{,}8}{0{,}2}\right)^{3}=4^{3}=64.$$

Проверка прямым счётом: $C_{13}^{8}=C_{13}^{5}=1287$, $P_{13}(8)=1287\cdot0{,}8^{8}\cdot0{,}2^{5}\approx0{,}06910$, $P_{13}(5)=1287\cdot0{,}8^{5}\cdot0{,}2^{8}\approx0{,}00108$, и $0{,}06910:0{,}00108\approx64$.