ID: 00013406
а) Решите уравнение $8^{x}-3\cdot 2^{x+2}+2^{5-x}=0$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\log_4 5;\sqrt{3}\right]$
Источник: ФИПИ
Пункт а. Приведём к $2^x$ и домножим на $2^x>0$:
$$2^{4x}-12\cdot 2^{2x}+32=0$$
Замена $t=2^{2x}>0$:
$$t^2-12t+32=0,\quad t_1=4,\ t_2=8$$
Обратно: $2^{2x}=4\Rightarrow x=1$; $2^{2x}=8\Rightarrow x=\tfrac32$.
Выпишем все серии корней:
$$x_1=1,\qquad x_2=\tfrac32$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\log_4 5;\,\sqrt3\right]$. Для каждого корня проверим двойное неравенство $\frac{\log{\left(5 \right)}}{\log{\left(4 \right)}}\le x\le \sqrt{3}$ и оставим попавшие на отрезок.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$\frac{3}{2}$$
а) 1; 1,5
б) 1,5