Как решаем. Для каждого слова находим орфограмму — место, где можно ошибиться, — определяем правило (приставка, корень, суффикс, окончание или спряжение) и решаем, какую букву вставить. Затем выбираем номера слов, где пишется буква «И».

(1) побудете — буква «е»: безударное личное окончание глагола: у глаголов I спряжения пишем Е (-ешь, -ет, -ем, -ете, -ют/-ут), у II спряжения — И (-ишь, -ит, -им, -ите, -ат/-ят); «побыть» → побудете (I спряжение) → -ете

(2) зимнем — буква «е»: безударное окончание прилагательного/причастия проверяем вопросом от существительного (какой? какому? какие?); «в лесу (каком?) зимнем» → -ем

(3) увидите — буква «и»: безударное личное окончание глагола: у глаголов I спряжения пишем Е (-ешь, -ет, -ем, -ете, -ют/-ут), у II спряжения — И (-ишь, -ит, -им, -ите, -ат/-ят); «увидеть» — глагол-исключение II спряжения → -ите

(4) услышите — буква «и»: безударное личное окончание глагола: у глаголов I спряжения пишем Е (-ешь, -ет, -ем, -ете, -ют/-ут), у II спряжения — И (-ишь, -ит, -им, -ите, -ат/-ят); «услышать» — глагол-исключение II спряжения → -ите

(5) ветки — буква «и»: безударное падежное окончание существительного — определяем склонение и падеж; 1-е склонение, род. падеж (с ветки) → -и

(6) синицы — буква «ы»: Ы/И после Ц: в корне обычно И (цирк), в окончаниях и суффиксе -ын- — Ы; слова-исключения цыган-цыпочки-цыплёнок-цыкнуть-цыц; после ц в окончании → Ы (синицы)

(7) отыскивая — буква «ы»: Ы/И после приставки на согласную: И → Ы (играть → сыграть); после меж-, сверх-, иноязычных приставок и в сложных словах И сохраняется; после приставки от- на согласную И→Ы

(8) спрятавшихся — буква «и»: безударное окончание прилагательного/причастия проверяем вопросом от существительного (какой? какому? какие?); причастие, род. падеж мн. ч. (каких?) → -ихся

(9) свистит — буква «и»: безударная проверяемая гласная в корне — подбираем проверочное слово, где она под ударением; проверяем «свИст»

Итог. Буква «И» нужна в словах под номерами 3, 4, 5, 8, 9.