Как решаем. Для каждого слова находим орфограмму — место, где можно ошибиться, — определяем правило (приставка, корень, суффикс, окончание или спряжение) и решаем, какую букву вставить. Затем выбираем номера слов, где пишется буква «Е».

(1) путешественникам — буква «е»: соединительная гласная в сложном слове: после твёрдого согласного — О, после мягкого согласного, шипящего и Ц — Е; сложное слово путь-е-шествие

(2) пришлось — буква «и»: приставки ПРЕ-/ПРИ- по значению: ПРИ- — приближение, присоединение, неполнота действия, близость; ПРЕ- — значение «очень» или близкое к ПЕРЕ-; приставка при- (пришлось)

(3) преодолеть — буква «е»: приставки ПРЕ-/ПРИ- по значению: ПРИ- — приближение, присоединение, неполнота действия, близость; ПРЕ- — значение «очень» или близкое к ПЕРЕ-; приставка пре- (близкое к пере-)

(4) удивительный — буква «и»: безударная проверяемая гласная в корне — подбираем проверочное слово, где она под ударением; проверяем «дИво», «удИвишь»

(5) тянулась — буква «я»: безударная проверяемая гласная в корне — подбираем проверочное слово, где она под ударением; проверяем «тЯнет»

(6) смешанный — буква «а»: перед -нн-/-н- в причастии сохраняется гласная инфинитива (-а-/-я- → -а/-я+нн; от глаголов на -ить → -енн-); от «смешать» (на -ать) → перед -нн- сохраняется -а-

(7) болотистая — буква «и»: гласная в суффиксе прилагательного (-ев-/-ив-, -чив-/-лив-, -еньк-/-оньк- и т.п.); суффикс -ист-

(8) исследователи — буква «е»: суффикс существительного: -ек- (беглая е при склонении) / -ик- (гласная сохраняется); -чик-/-щик-; суффикс -тель

(9) заметили — буква «е»: безударная проверяемая гласная в корне — подбираем проверочное слово, где она под ударением; проверяем «замЕтить», «мЕтка»

Итог. Буква «Е» нужна в словах под номерами 1, 3, 8, 9.