Как решаем. Для каждого слова находим орфограмму — место, где можно ошибиться, — определяем правило (приставка, корень, суффикс, окончание или спряжение) и решаем, какую букву вставить. Затем выбираем номера слов, где пишется буква «Е».

(1) услышал — буква «а»: гласная перед суффиксом -л- прошедшего времени — та же, что в инфинитиве перед -ть; «услышать» → перед -л- сохраняется -а- инфинитива

(2) таинственный — буква «е»: гласная в суффиксе прилагательного (-ев-/-ив-, -чив-/-лив-, -еньк-/-оньк- и т.п.); суффикс -енн-

(3) глубине — буква «и»: суффикс существительного: -ек- (беглая е при склонении) / -ик- (гласная сохраняется); -чик-/-щик-; суффикс существительного -ин-

(4) потемневшего — буква «е»: безударная проверяемая гласная в корне — подбираем проверочное слово, где она под ударением; проверяем «тёмный»

(5) потемневшего — буква «е»: безударное окончание прилагательного/причастия проверяем вопросом от существительного (какой? какому? какие?); причастие, род. падеж м. рода (какого?) → -его

(6) замер — буква «е»: чередующаяся гласная в корне: выбор буквы зависит от суффикса -а-, конечной согласной корня, ударения или значения (бер/бир, стел/стил, тер/тир, мер/мир, лаг/лож, кас/кос, раст/ращ/рос, гар/гор, зар/зор, клан/клон, скак/скоч и т.п.); корень -мер-/-мир-: нет суффикса -а- → -мер-

(7) продираться — буква «и»: чередующаяся гласная в корне: выбор буквы зависит от суффикса -а-, конечной согласной корня, ударения или значения (бер/бир, стел/стил, тер/тир, мер/мир, лаг/лож, кас/кос, раст/ращ/рос, гар/гор, зар/зор, клан/клон, скак/скоч и т.п.); корень -дер-/-дир-: есть суффикс -а- → -дир-

(8) сухие — буква «е»: безударное окончание прилагательного/причастия проверяем вопросом от существительного (какой? какому? какие?); прилагательное, мн. ч. (какие?) → -ие

(9) колючие — буква «е»: безударное окончание прилагательного/причастия проверяем вопросом от существительного (какой? какому? какие?); прилагательное, мн. ч. (какие?) → -ие

Итог. Буква «Е» нужна в словах под номерами 2, 4, 5, 6, 8, 9.