Как решаем. Для каждого слова находим орфограмму — место, где можно ошибиться, — определяем правило (приставка, корень, суффикс, окончание или спряжение) и решаем, какую букву вставить. Затем выбираем номера слов, где пишется буква «Е».

(1) посетителей — буква «е»: безударная проверяемая гласная в корне — подбираем проверочное слово, где она под ударением; проверяем «посЕтит»

(2) впечатлил — буква «е»: непроверяемая (словарная) гласная в корне — запоминаем написание; словарное «впечатление»

(3) заботливо — буква «и»: гласная в суффиксе прилагательного (-ев-/-ив-, -чив-/-лив-, -еньк-/-оньк- и т.п.); суффикс -лив-

(4) огороженный — буква «е»: перед -нн-/-н- в причастии сохраняется гласная инфинитива (-а-/-я- → -а/-я+нн; от глаголов на -ить → -енн-); от «огородить» (на -ить) → суффикс -енн-

(5) палисадник — буква «и»: непроверяемая (словарная) гласная в корне — запоминаем написание; словарное «палисадник»

(6) бело-розовыми — буква «е»: безударная проверяемая гласная в корне — подбираем проверочное слово, где она под ударением; первая часть «бело-» от «бЕлый» → Е

(7) нарциссами — буква «и»: непроверяемая (словарная) гласная в корне — запоминаем написание; словарное «нарцисс», после ц → И

(8) фиолетовыми — буква «и»: непроверяемая (словарная) гласная в корне — запоминаем написание; словарное «фиолетовый»

(9) настурциями — буква «и»: непроверяемая (словарная) гласная в корне — запоминаем написание; словарное «настурция», после ц → И

Итог. Буква «Е» нужна в словах под номерами 1, 2, 4, 6.