Большое предложение с сочинением, подчинением, однородными членами и деепричастным оборотом. Проходим по каждой цифре.

Позиция 1: «переводится с немецкого (1) как «шейный платок»» — оборот «как…» здесь в значении «в качестве», запятая не нужна.

Позиция 2: «как «шейный платок» (2) и во времена Пушкина назывался платок» — союз «и» соединяет два простых предложения (сложносочинённое), перед ним запятая. Нужна.

Позиция 3: «назывался платок (3) или шарф» — однородные члены (платок или шарф) с одиночным «или», запятая не нужна.

Позиция 4: «платок или шарф (4) который складывали по диагонали» — придаточное со словом «который», перед ним запятая. Нужна.

Позиция 5: «складывали по диагонали (5) и завязывали бантом» — однородные сказуемые «складывали и завязывали» с одиночным «и», запятая не нужна.

Позиция 6: «завязывали бантом (6) или узлом» — однородные (бантом или узлом) с одиночным «или», запятая не нужна.

Позиция 7: «бантом или узлом (7) а концы заправляются под жилет» — союз «а», перед ним всегда запятая. Нужна.

Позиция 8: «под жилет (8) поэтому модники щеголяли» — «поэтому» присоединяет часть со значением следствия, перед ним запятая. Нужна.

Позиция 9: «щеголяли друг перед другом (9) завязывая галстуки по-разному» — деепричастный оборот, перед ним запятая. Нужна.

Итог: запятые нужны на местах 2, 4, 7, 8 и 9.