Здесь искажён устойчивый оборот (фразеологизм). Правильно говорят «жизнь бьёт ключом» — то есть кипит, бурлит. Это готовое выражение, в него нельзя вставлять лишние слова. Определение «другим» разрушает оборот: «ключ» здесь не родник, который можно поменять, а образ бьющей струи.

Лишнее слово «другим» нужно убрать: «жизнь в городе стала бить ключом».