Сложное предложение с разными видами связи. Внимание: «и» соединяет однородные сказуемые, между которыми вставлено условное придаточное. Разбираем цифры.

(1) Запятая нужна. «Иван Петрович объявил (1) что намерен ехать в Петербург искать места» — перед изъяснительным «что» запятая.

(2) Запятая нужна. «искать места (2) и (3) упросил родственников (4) если есть возможность (5) приютить… свою жену» — здесь закрывается придаточное «что намерен ехать…», и перед союзом «и» ставится запятая.

(3) Запятой нет. «и (3) упросил родственников» — союз «и» соединяет однородные сказуемые «объявил» и «упросил», между «и» и «упросил» запятая не нужна.

(4) Запятая нужна. «упросил родственников (4) если есть возможность (5) приютить… жену» — условное придаточное «если есть возможность» вставлено, перед ним запятая.

(5) Запятая нужна. «если есть возможность (5) приютить хоть на время свою жену» — закрываем вставленное условное придаточное, ставится запятая.

Итог: запятые на местах 1, 2, 4 и 5.