Сложноподчинённое предложение с однородными изъяснительными придаточными, соединёнными союзами «или». Главное — «глаза его начинали коситься» — стоит в конце. Разбираем цифры.

(1) Запятая нужна. «Когда ему говорили (1) что такой-то написал очень интересную статью…» — после «говорили» начинается ряд изъяснительных придаточных, перед первым «что» запятая.

(2) Запятой нет. «интересную статью (2) или (3) что пьеса такого-то имела успех» — союз «или» соединяет два однородных придаточных, перед одиночным «или» запятой нет.

(3) Запятой нет. «или (3) что» — между «или» и «что» запятая не нужна.

(4) Запятая нужна. «имела успех (4) что Х выиграл 200 тысяч» — это два однородных придаточных без союза, между ними запятая.

(5) Запятой нет. «выиграл 200 тысяч (5) или (6) что речь N произвела сильное впечатление» — снова одиночный союз «или» между однородными придаточными, запятой перед ним нет.

(6) Запятой нет. «или (6) что» — между «или» и «что» запятая не нужна.

(7) Запятая нужна. «произвела сильное впечатление (7) глаза его начинали коситься от зависти» — заканчивается весь ряд придаточных, перед главной частью ставится запятая.

Итог: запятые на местах 1, 4 и 7.