Динамика — Задание 7 ОГЭ по физике №00018298

Нужно найти ускорение свободного падения на планете, которая и массивнее Земли, и больше её по размеру. Посмотрим, как каждое из этих отличий влияет на ответ.

На тело массой $m$ у поверхности планеты действует сила тяготения. По закону всемирного тяготения она равна $F=G\dfrac{Mm}{R^2}$, где $M$ — масса планеты, $R$ — её радиус. Эта же сила сообщает телу ускорение свободного падения: $F=mg$. Приравняем и сократим массу тела:

$$g=G\dfrac{M}{R^2}$$

Видно: чем больше масса планеты, тем больше $g$, а чем больше радиус — тем меньше, причём радиус стоит в квадрате.

Запишем эту формулу для планеты и для Земли и разделим одну на другую. Гравитационная постоянная сократится:

$$\dfrac{g_{\text{пл}}}{g_{\text{З}}}=\dfrac{M_{\text{пл}}}{M_{\text{З}}}\cdot\left(\dfrac{R_{\text{З}}}{R_{\text{пл}}}\right)^2$$

По условию масса больше в $9$ раз, радиус — в $2$ раза:

$$\dfrac{g_{\text{пл}}}{g_{\text{З}}}=9\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{9}{4}=2{,}25$$

Ускорение свободного падения на Земле берём из справочных данных: $g_{\text{З}}=10$ м/с². Тогда

$$g_{\text{пл}}=2{,}25\cdot 10=22{,}5\ \text{м/с}^2$$

Проверим себя рассуждением: одна только масса увеличила бы $g$ в $9$ раз, но больший радиус уменьшает его в $4$ раза. В итоге $g$ больше земного, но не в $9$ раз, а чуть больше чем вдвое — похоже на правду.