ID: 00006956
Ударная часть молота массой 10 т свободно падает с высоты 2,5 м на стальную деталь массой 200 кг. Сколько ударов сделал молот, если деталь нагрелась на 20 °C? На нагревание детали расходуется 25% механической энергии молота.
Примечание. Теплоемкость стали считать равной 500 $Дж/(кг·°С)$
Источник: ФИПИ
$M = 10 \text{ т} = 10^{4} \text{ кг}$
$h = 2{,}5 \text{ м}$
$m = 200 \text{ кг}$
$c_{\text{ст}} = 500 \text{ Дж/(кг}\cdot\text{°C)}$
$\eta = 0{,}25$
$\Delta T = 20 \text{ °C}$
$n$ — количество ударов
При свободном падении потенциальная энергия молота переходит в кинетическую:
$$E_k = Mgh$$
За один удар на нагрев детали расходуется $\eta$ доля кинетической энергии:
$$Q_1 = \eta \cdot Mgh$$
Нагрев детали за один удар описывается уравнением теплового баланса:
$$Q_1 = c_{\text{ст}} \cdot m \cdot \Delta T_1 \quad \Rightarrow \quad \Delta T_1 = \frac{\eta M g h}{c_{\text{ст}} \cdot m}$$
Для нагрева на $\Delta T = 20 \text{ °C}$ потребуется $n$ ударов:
$$n = \frac{\Delta T}{\Delta T_1} = \frac{c_{\text{ст}} \cdot m \cdot \Delta T}{\eta M g h} = \frac{500 \cdot 200 \cdot 20}{0{,}25 \cdot 10^{4} \cdot 10 \cdot 2{,}5}$$
$$n = \frac{2\,000\,000}{625\,000} = 32$$
32