ID: 00003959
К клеммам источника постоянного напряжения подключены две параллельно соединенные проволоки одинаковой длины и одинакового поперечного сечения. Первая проволока медная, вторая — алюминиевая. Известно, что через некоторое время после замыкания ключа медная проволока нагрелась на 23 °C . На сколько градусов Цельсия за это же время нагрелась алюминиевая проволока?
Потерями теплоты можно пренебречь. Ответ округлите до целого числа.
Источник: ФИПИ
проволоки одинаковой длины L и сечения S, соединены параллельно
\Delta t_\text{Cu} = 23\,°C
медь: \rho_\text{Cu}=1{,}7{\cdot}10^{-8} Ом·м, c_\text{Cu}=400 Дж/(кг·К), D_\text{Cu}=8900 кг/м^3
алюминий: \rho_\text{Al}=2{,}8{\cdot}10^{-8} Ом·м, c_\text{Al}=920 Дж/(кг·К), D_\text{Al}=2700 кг/м^3
\Delta t_\text{Al} — ?
При параллельном соединении на проволоках одинаковое напряжение U. Выделившаяся теплота Q = \dfrac{U^2}{R}\,\tau, где сопротивление R = \dfrac{\rho L}{S}. Эта теплота идёт на нагрев: Q = c\,M\,\Delta t, где масса M = D\,L\,S.
Выразим нагрев:
\Delta t = \frac{Q}{cM} = \frac{U^2 \tau}{R\, c\, D L S} = \frac{U^2 \tau}{\rho\, c\, D\, L^2}.
При одинаковых U, \tau, L нагрев обратно пропорционален произведению \rho\, c\, D. Поэтому:
\Delta t_\text{Al} = \Delta t_\text{Cu}\cdot\frac{\rho_\text{Cu}\, c_\text{Cu}\, D_\text{Cu}}{\rho_\text{Al}\, c_\text{Al}\, D_\text{Al}} = 23\cdot\frac{1{,}7 \cdot 400 \cdot 8900}{2{,}8 \cdot 920 \cdot 2700} \approx 23\cdot 0{,}87 \approx 20\,°\text{C}.
20