Два сплошных шарика одинаковой массы изготовлены из разных материалов: один из цинка, а другой из меди. Эти шарики подвесили к концам коромысла равноплечих весов, а затем оба шарика целиком погрузили в воду. Будут ли после этого весы находиться в равновесии, и если нет, то который из двух шариков будет перевешивать?
1) Весы будут находиться в равновесии.
2) Равновесие весов нарушится, шарик из цинка перевесит шарик из меди.
3) Равновесие весов нарушится, шарик из меди перевесит шарик из цинка.
4) Равновесие весов может как нарушиться, так и нет.
Решение
Дано:
Два шарика одинаковой массы $m$: один из цинка ($\rho_{\text{Zn}} \approx 7130\text{ кг/м}^3$), другой из меди ($\rho_{\text{Cu}} \approx 8900\text{ кг/м}^3$). Шарики подвешены к концам коромысла равноплечих весов и целиком погружены в воду.
Найти:
Будут ли весы в равновесии? Если нет, какой шарик перевесит?
⠀
Решение:
До погружения в воду оба шарика имеют одинаковую массу и весы находятся в равновесии: $T_{\text{Cu}} = T_{\text{Zn}} = mg$.
После погружения в воду на каждый шарик действует сила Архимеда:
$$F_{A} = \rho_{\text{воды}} \cdot g \cdot V$$
Натяжение нити, удерживающей шарик:
$$T = mg - F_A = mg - \rho_{\text{воды}} \cdot g \cdot V$$
Поскольку массы шариков равны ($m_{\text{Cu}} = m_{\text{Zn}} = m$), но плотности разные, их объёмы различаются:
$$V = \frac{m}{\rho}$$
Для медного шарика: $V_{\text{Cu}} = \dfrac{m}{\rho_{\text{Cu}}}$
Для цинкового шарика: $V_{\text{Zn}} = \dfrac{m}{\rho_{\text{Zn}}}$
Так как $\rho_{\text{Cu}} \gt \rho_{\text{Zn}}$, то $V_{\text{Cu}} \lt V_{\text{Zn}}$.
Сила Архимеда на медный шарик меньше: $F_{A,\text{Cu}} \lt F_{A,\text{Zn}}$.
Натяжение нити медного шарика больше:
$$T_{\text{Cu}} = mg - F_{A,\text{Cu}} \gt T_{\text{Zn}} = mg - F_{A,\text{Zn}}$$
Коромысло перекосится в сторону медного шарика (большее натяжение = больше тянет вниз). Перевесит медный шарик.