ID: 00019313
В погружённом в воду водолазном колоколе уровень воды на $1033\ \text{см}$ ниже поверхности воды. Найдите плотность воздуха в колоколе, если плотность воздуха над поверхностью воды $1{,}29\ \text{кг/м}^3$.
Источник: Сборник дидактических материалов Пёрышкина
Дано:
$h=1033\ \text{см}=10{,}33\ \text{м}$
$\rho_0=1{,}29\ \text{кг/м}^3$, $p_0=10^5\ \text{Па}$ (атмосферное)
$\rho_{\text{в}}=1000\ \text{кг/м}^3$, $g=10\ \text{Н/кг}$
Найти: $\rho$ (воздух в колоколе)
Решение:
Сжатый в колоколе воздух давит на воду и держит её уровень. Давление этого воздуха равно давлению воды на той глубине, где стоит уровень внутри колокола: это атмосферное давление плюс давление водяного столба высотой $h$.
Сначала посчитаем давление столба воды высотой $10{,}33\ \text{м}$:
$$p_{\text{вод}}=\rho_{\text{в}}\,g\,h=1000\cdot 10\cdot 10{,}33\approx 10^5\ \text{Па}$$
Это как раз ещё одно атмосферное давление (поэтому в задаче и взяли $1033\ \text{см}$). Значит, воздух в колоколе сжат до давления:
$$p=p_0+p_{\text{вод}}=10^5+10^5=2\cdot 10^5\ \text{Па}$$
Давление выросло в $2$ раза по сравнению с атмосферным, значит, и плотность воздуха вырастет в $2$ раза:
$$\rho=\rho_0\cdot\frac{p}{p_0}=1{,}29\cdot 2=2{,}58\ \text{кг/м}^3$$
Ответ: $2{,}58\ \text{кг/м}^3$.