ID: 00019056
Наполненный тёплым воздухом воздушный шар объёмом $1600\ \text{м}^3$ парит на высоте $5{,}5\ \text{км}$, где плотность воздуха в два раза меньше, чем на уровне моря. Какова плотность воздуха внутри шара, если общая масса его оболочки и груза $150\ \text{кг}$?
Источник: Сборник дидактических материалов Пёрышкина
Дано:
$V=1600\ \text{м}^3$
$\rho_0=1{,}29\ \text{кг/м}^3$ (на уровне моря)
$\rho_{\text{сн}}=\dfrac{\rho_0}{2}$ (снаружи шара, на высоте)
$m=150\ \text{кг}$
Найти: $\rho_{\text{вн}}$ — плотность воздуха внутри шара
Решение:
Шар парит — значит, выталкивающая сила держит весь шар. Снизу его толкает наружный (холодный) воздух, а вниз тянет вес оболочки с грузом и вес тёплого воздуха внутри.
Условие равновесия (плавания в воздухе):
$$\rho_{\text{сн}}\,g\,V=m\,g+\rho_{\text{вн}}\,g\,V$$
Сократим на $g$ и найдём плотность внутри:
$$\rho_{\text{вн}}=\rho_{\text{сн}}-\frac{m}{V}$$
Снаружи плотность вдвое меньше, чем у моря:
$$\rho_{\text{сн}}=\frac{1{,}29}{2}\approx 0{,}645\ \text{кг/м}^3$$
$$\rho_{\text{вн}}=0{,}645-\frac{150}{1600}=0{,}645-0{,}094\approx 0{,}55\ \text{кг/м}^3$$
Ответ: плотность воздуха внутри шара $\approx 0{,}55\ \text{кг/м}^3$.