ID: 00012171
Неоднородное бревно длиной y = 8 м можно уравновесить, положив его на подставку, установленную на расстоянии x = 2 м от толстого конца бревна (рис. 1). Если использовать подставку посередине бревна, то для того, чтобы оно находилось в равновесии, на тонкий конец бревна нужно положить груз массой 40 кг (рис. 2).
1) На каком расстоянии от тонкого конца находится центр тяжести бревна?
2) Чему равна масса бревна?
3) Если на тонкий конец бревна положить груз массой 60 кг, то груз какой массы нужно будет положить на толстый конец для того, чтобы система находилась в равновесии, если подставка находится посередине бревна?
Источник: ФИПИ
Дано: длина бревна $y=8$ м; равновесие на опоре в $x=2$ м от толстого конца; при опоре посередине для равновесия на тонкий конец кладут груз $m=40$ кг.
1) Центр тяжести. Если бревно балансирует на опоре в 2 м от толстого конца, значит центр тяжести находится прямо над опорой — в 2 м от толстого конца, то есть на расстоянии $8-2=6$ м от тонкого конца.
2) Масса бревна. Подопрём бревно посередине (в 4 м от концов). Центр тяжести смещён к толстому концу на $4-2=2$ м, поэтому толстая половина перевешивает. Груз 40 кг на тонком конце (плечо 4 м) уравновешивает момент веса бревна (плечо 2 м): $M\,g\cdot 2 = m\,g\cdot 4$, откуда $M = \dfrac{40\cdot 4}{2}=80$ кг.
3) Второй груз. Опора посередине. Груз 60 кг на тонком конце (плечо 4 м) создаёт момент против веса бревна. Сначала найдём, какой момент нужно уравновесить: вес бревна даёт момент $80\cdot 2 = 160$ (в условных единицах $g\cdot$кг$\cdot$м), а лишний груз на тонком конце $60\cdot 4 = 240$. Разность $240-160 = 80$ должен скомпенсировать груз на толстом конце (плечо 4 м): $m_2 = \dfrac{80}{4} = 20$ кг.
20 кг