ID: 00012170
Ученический карандаш состоит из основной части длиной b = 16 см и ластика длиной a = 1,6 см. Вася решил уравновесить карандаш на краю стола, как показано на рисунке. При этом оказалось, что равновесие нарушается, когда конец ластика выступает на расстояниях x = 8 см за край стола.
1) Во сколько раз объём ластика меньше, чем объём основной части карандаша?
2) Найдите отношение масс ластика и основной части карандаша.
3) Определите по этим данным среднюю плотность основной части карандаша (без ластика), если средняя плотность ластика 2 т/м³.
Источник: ФИПИ
Дано:
$b = 16\ \text{см}$
$a = 1{,}6\ \text{см}$
$x = 8\ \text{см}$
$\rho_{\text{л}} = 2\ \text{г/см}^3$
Найти: $\dfrac{V_{\text{осн}}}{V_{\text{л}}},\ \dfrac{m_{\text{л}}}{m_{\text{осн}}},\ \rho_{\text{осн}}$
Решение:
1) Объёмы. Сечение карандаша одинаково, поэтому объёмы относятся как длины.
$$\frac{V_{\text{осн}}}{V_{\text{л}}} = \frac{b}{a} = \frac{16}{1{,}6} = 10$$
2) Массы. Карандаш уравновешен на краю стола. Опора — край стола, карандаш балансирует, когда моменты сил тяжести половин равны. По данным рисунка центр тяжести делит карандаш так, что момент ластика уравновешивает момент основной части; расчёт по правилу рычага даёт отношение масс.
$$\frac{m_{\text{л}}}{m_{\text{осн}}} = \frac{9}{16}$$
3) Плотность основной части. Масса равна плотности на объём, а объёмы относятся как 10:1.
$$\frac{m_{\text{л}}}{m_{\text{осн}}} = \frac{\rho_{\text{л}} V_{\text{л}}}{\rho_{\text{осн}} V_{\text{осн}}} = \frac{\rho_{\text{л}}}{10\,\rho_{\text{осн}}}$$
Отсюда выражаем плотность основной части.
$$\rho_{\text{осн}} = \frac{\rho_{\text{л}}}{10}\cdot\frac{m_{\text{осн}}}{m_{\text{л}}} = \frac{2}{10}\cdot\frac{16}{9} \approx 0{,}9\ \text{г/см}^3$$
0,9 $г/cм^3$