Квантовая Физика… — Задание ЕГЭ по физике №00026626

Сюжет распадается на две части, и их надо аккуратно склеить. Часть первая — сам распад: покоящееся ядро разлетается на два осколка, и энергия $\Delta E$ делится между ними не пополам, а по особому правилу. Часть вторая — полёт $\alpha$-частицы в магнитном поле: там её закручивает сила Лоренца, и радиус дуги напрямую связан с импульсом. Мостиком между частями служит импульс $\alpha$-частицы.

Шаг 1 — закон сохранения импульса. До распада ядро покоилось, значит суммарный импульс системы был нулевым. После распада он обязан остаться нулевым: $\vec p_\alpha+\vec p_{ион}=0$. Отсюда сразу два вывода: осколки летят строго в противоположные стороны, и модули их импульсов ОДИНАКОВЫ. Обозначим этот общий модуль через $p$.

Шаг 2 — как делится энергия. Вся выделившаяся энергия ушла в кинетическую энергию продуктов: $\Delta E=\dfrac{p^2}{2m_\alpha}+\dfrac{p^2}{2M}$. Здесь удобно пользоваться именно формой $E_к=\dfrac{p^2}{2m}$, а не $\dfrac{m\upsilon^2}{2}$, потому что общая величина у осколков — это импульс, а не скорость.

Шаг 3 — выражаем импульс. Вынесем $\dfrac{p^2}{2}$ за скобку: $\Delta E=\dfrac{p^2}{2}\left(\dfrac{1}{m_\alpha}+\dfrac{1}{M}\right)=\dfrac{p^2}{2}\cdot\dfrac{M+m_\alpha}{m_\alpha M}$. Отсюда $p^2=\dfrac{2\Delta E\,m_\alpha M}{m_\alpha+M}$, то есть $p=\sqrt{\dfrac{2\Delta E\,m_\alpha M}{m_\alpha+M}}$.

Шаг 4 — что делает магнитное поле. Трек $\alpha$-частицы лежит в плоскости, перпендикулярной полю, значит скорость перпендикулярна вектору $\vec B$. Сила Лоренца $F=q\upsilon B$ в этом случае максимальна и всегда перпендикулярна скорости: она не меняет модуль скорости, а только заворачивает частицу — получается движение по окружности.

Шаг 5 — радиус окружности. Второй закон Ньютона для движения по окружности: $q\upsilon B=\dfrac{m_\alpha\upsilon^2}{R}$. Сократим на $\upsilon$: $qB=\dfrac{m_\alpha\upsilon}{R}$, а $m_\alpha\upsilon$ — это и есть импульс $p$. Получаем удобную формулу $R=\dfrac{p}{qB}$. Заряд $\alpha$-частицы по условию равен $2|e|$, поэтому $R=\dfrac{p}{2|e|B}$.

Шаг 6 — собираем ответ. Подставляем найденный импульс: $R=\dfrac{1}{2|e|B}\sqrt{\dfrac{2\Delta E\,m_\alpha M}{m_\alpha+M}}$. Ту же формулу можно записать компактнее, поделив числитель и знаменатель под корнем на $M$: $R=\dfrac{1}{2|e|B}\sqrt{\dfrac{2m_\alpha\Delta E}{1+\dfrac{m_\alpha}{M}}}$.

Проверим формулу на здравый смысл. Тяжёлый ион очень массивен по сравнению с $\alpha$-частицей, поэтому $\dfrac{m_\alpha}{M}$ мало, и корень почти равен $\sqrt{2m_\alpha\Delta E}$ — то есть практически вся энергия распада достаётся лёгкой $\alpha$-частице, а тяжёлый ион еле шевелится. Это знакомая всем картина: при одинаковых импульсах лёгкий осколок уносит львиную долю энергии. Ещё проверка: чем сильнее поле, тем круче закручивается частица — и $R$ в формуле действительно обратно пропорционален $B$.

Обоснование модели. Используются: закон сохранения импульса для замкнутой системы (внешние силы за краткий миг распада роли не играют, а магнитное поле на покоившееся ядро не действует, так как оно неподвижно); связь кинетической энергии и импульса $E_к=\dfrac{p^2}{2m}$ — она справедлива в нерелятивистском приближении, что для энергий обычного $\alpha$-распада вполне допустимо; выражение для силы Лоренца $F=q\upsilon B\sin\varphi$ при $\varphi=90^\circ$ (условие прямо говорит, что трек лежит в плоскости, перпендикулярной полю); второй закон Ньютона для движения по окружности с центростремительным ускорением $\dfrac{\upsilon^2}{R}$. Речь идёт именно о НАЧАЛЬНОЙ части трека — дальше частица теряет энергию в веществе и радиус постепенно уменьшается, но это уже за рамками задачи.