ID: 00026362
Наклонная плоскость пересекается с горизонтальной плоскостью по прямой AB . Угол между плоскостями α = 30 ° . Маленькая шайба скользит вверх по наклонной плоскости из точки A с начальной скоростью \upsilon _{0} =2 м/с, направленной под углом β = 60 ° к прямой AB (см. рисунок). Найдите максимальное расстояние, на которое шайба удалится от горизонтальной плоскости в ходе подъёма по наклонной плоскости. Трением между шайбой и наклонной плоскостью пренебречь.
Источник: ФИПИ
Разберёмся с геометрией по рисунку. Есть горизонтальная плоскость и наклонная, они пересекаются по прямой AB; угол между плоскостями \alpha=30^\circ. Шайба стартует из точки A, лежащей на линии пересечения, и скользит ВВЕРХ по наклонной плоскости. Но летит она не «в лоб» вверх по склону: её начальная скорость v_0=2 м/с направлена под углом \beta=60^\circ к прямой AB, то есть наискось.
Как устроено движение. Шайба всё время остаётся в наклонной плоскости, поэтому удобно работать прямо в этой плоскости, введя в ней две оси: одну вдоль линии AB, другую — вдоль линии наибольшего ската (перпендикулярно AB, вверх по склону). Трения нет, нормальная реакция перпендикулярна плоскости и на движение внутри неё не влияет; остаётся только «скатывающая» часть силы тяжести. Она направлена вдоль наибольшего ската вниз и даёт ускорение a=g\sin\alpha. Вдоль линии AB ускорения нет вовсе.
Отсюда важный вывод: движение шайбы по наклонной плоскости устроено точно как бросок под углом в поле тяжести, только «тяжесть» ослаблена до g\sin\alpha. Значит, дальше всё считается как в обычной кинематике равноускоренного движения, и нам нужна только та составляющая скорости, которая направлена вверх по склону.
Шаг 1 — ускорение вдоль склона: a=g\sin\alpha=10\cdot\sin 30^\circ=10\cdot 0{,}5=5 м/с², направлено вниз по склону.
Шаг 2 — составляющая начальной скорости вдоль наибольшего ската (перпендикулярно AB): v_{\perp}=v_0\sin\beta=2\cdot\sin 60^\circ=2\cdot 0{,}866=1{,}73 м/с.
Шаг 3 — насколько далеко шайба уедет вверх по склону. Это как подъём тела, брошенного вверх: движение вдоль склона тормозится до нуля, поэтому s=\dfrac{v_{\perp}^2}{2a}=\dfrac{(2\sin 60^\circ)^2}{2\cdot 5}=\dfrac{3}{10}=0{,}3 м. (Удобно считать в квадратах: (2\cdot 0{,}866)^2=3.)
Шаг 4 — переводим «путь по склону» в «высоту над горизонтальной плоскостью». Поднимаясь по склону на s, шайба поднимается по вертикали на h=s\sin\alpha=0{,}3\cdot 0{,}5=0{,}15 м.
Проверим себя. Вдоль AB шайба продолжает ехать равномерно со скоростью v_0\cos\beta=1 м/с, но эта часть движения на высоту не влияет вообще — высота определяется только «поперечной» составляющей. И ещё: если бы шайбу пустили прямо вверх по склону (\beta=90^\circ), она поднялась бы на \dfrac{v_0^2}{2g\sin\alpha}\cdot\sin\alpha=\dfrac{v_0^2}{2g}=0{,}2 м — как при обычном броске вверх. Наш ответ 0{,}15 м меньше, и это правильно: часть скорости ушла «вбок».