Газ ходит по замкнутому циклу из трёх шагов: нагрев при постоянном давлении (изобара 1\to2), охлаждение при постоянном объёме (изохора 2\to3) и адиабатное сжатие (3\to1, без обмена теплом). Нам известны отданная холодильнику теплота и КПД, а найти нужно работу внешних сил при сжатии. Пойдём через энергетические потоки: сколько тепла взяли, сколько отдали, какую работу совершили.

Полезной для нас будет теплота, полученная газом от нагревателя. КПД связывает её с отданной теплотой так: \eta=1-\dfrac{Q_{отд}}{Q_{пол}}. Отсюда Q_{пол}=\dfrac{Q_{отд}}{1-\eta}.

Считаем полученную теплоту:

Q_{пол}=\dfrac{50}{1-0{,}2}=\dfrac{50}{0{,}8}=62{,}5\ \text{кДж}

Всё тепло газ получает на изобаре 1\to2. Для изобары одноатомного газа есть удобная связь: работа газа составляет \dfrac{2}{5} от подведённой теплоты (потому что Q=\dfrac{5}{2}\,p\,\Delta V, а работа A=p\,\Delta V). Значит:

A_{12}=\dfrac{2}{5}Q_{пол}=0{,}4\cdot62{,}5=25\ \text{кДж}

Полезная работа за весь цикл — это КПД, умноженный на полученное тепло:

A_0=\eta\cdot Q_{пол}=0{,}2\cdot62{,}5=12{,}5\ \text{кДж}

Теперь соберём работу по шагам. На изохоре работа нулевая (A_{23}=0), а работа внешних сил при сжатии A'_{31} как раз «съедает» часть работы газа. Поэтому работа за цикл — это работа на изобаре минус работа внешних сил: A_0=A_{12}-A'_{31}.

Выражаем искомое:

A'_{31}=A_{12}-A_0=25-12{,}5=12{,}5\ \text{кДж}

Получилось, что работа внешних сил при адиабатном сжатии равна 12{,}5 кДж.