ID: 00019543
Прямоугольный треугольник с катетами c=2 см и h=3 см расположен перед собирающей линзой с фокусным расстоянием F=10 см, как показано на рисунке (вершина прямого угла лежит в точке 2F, катет c направлен вдоль главной оптической оси, катет h — перпендикулярно оси). Чему равна площадь даваемого линзой изображения этого треугольника? Сделайте рисунок с указанием хода лучей.
Источник: ФИПИ
Линза строит изображение каждой точки по отдельности. Треугольник плоский, но три его вершины стоят на разных расстояниях от линзы, поэтому у каждой вершины своё изображение. План такой: найдём изображения трёх вершин по формуле тонкой линзы, соединим их — получится треугольник-изображение, и посчитаем его площадь. Важная ловушка: нельзя считать, что весь треугольник просто увеличился в одно и то же число раз — вдоль оси и поперёк оси масштаб получается разным.
Так как F=10 см, то 2F=20 см. Вершина прямого угла C стоит в точке 2F: расстояние d_C=20 см, сама точка лежит на оси (высота 0). Катет c=2 см направлен вдоль оси, значит вершина A ближе к линзе: d_A=20-2=18 см, тоже на оси. Катет h=3 см перпендикулярен оси, поэтому вершина B поднята над C: d_B=20 см, высота 3 см над осью.
Формула тонкой линзы: \dfrac{1}{F}=\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}, откуда f=\dfrac{dF}{d-F}. Поперечное увеличение \Gamma=\dfrac{f}{d} (изображение действительное и перевёрнутое).
Точка C: f_C=\dfrac{20\cdot10}{20-10}=20 см. Точка на оси — значит и изображение C' на оси, в 20 см за линзой.
Точка A: f_A=\dfrac{18\cdot10}{18-10}=\dfrac{180}{8}=22{,}5 см. Тоже на оси: A' в 22{,}5 см за линзой.
Точка B: расстояние такое же, как у C (d_B=20 см), поэтому f_B=20 см, а увеличение \Gamma_B=\dfrac{f_B}{d_B}=\dfrac{20}{20}=1. Высота изображения =\Gamma_B\cdot h=1\cdot3=3 см (вниз, ведь изображение перевёрнуто). Значит B' — в 20 см за линзой, на 3 см ниже оси.
Собираем изображения вершин: C' — на оси (координата вдоль оси 20 см), A' — на оси (22{,}5 см), B' — под осью (координата 20 см, высота -3 см). Катет вдоль оси C'A'=22{,}5-20=2{,}5 см; катет поперёк оси C'B'=3 см. Эти два катета снова взаимно перпендикулярны (один вдоль оси, другой поперёк), то есть изображение — опять прямоугольный треугольник с прямым углом в C'.
S'=\dfrac{1}{2}\cdot C'A'\cdot C'B'=\dfrac{1}{2}\cdot2{,}5\cdot3=3{,}75 см^2.
Сравни с исходной площадью \dfrac{1}{2}\cdot2\cdot3=3 см^2: поперёк оси размер не изменился (в точке 2F увеличение равно 1), а вдоль оси катет «вытянулся» с 2 до 2{,}5 см — потому что вершина A стояла ближе 2F и её изображение ушло дальше. Поэтому площадь изображения не равна исходной.
Ответ: S'=3{,}75 см^2.
S'=3{,}75 см^2