ID: 00019543
Прямоугольный треугольник с катетами $c=2$ см и $h=3$ см расположен перед собирающей линзой с фокусным расстоянием $F=10$ см, как показано на рисунке (вершина прямого угла лежит в точке $2F$, катет $c$ направлен вдоль главной оптической оси, катет $h$ — перпендикулярно оси). Чему равна площадь даваемого линзой изображения этого треугольника? Сделайте рисунок с указанием хода лучей.
Источник: ФИПИ
Линза строит изображение каждой точки по отдельности. Треугольник плоский, но три его вершины стоят на разных расстояниях от линзы, поэтому у каждой вершины своё изображение. План такой: найдём изображения трёх вершин по формуле тонкой линзы, соединим их — получится треугольник-изображение, и посчитаем его площадь. Важная ловушка: нельзя считать, что весь треугольник просто увеличился в одно и то же число раз — вдоль оси и поперёк оси масштаб получается разным.
Так как $F=10$ см, то $2F=20$ см. Вершина прямого угла $C$ стоит в точке $2F$: расстояние $d_C=20$ см, сама точка лежит на оси (высота $0$). Катет $c=2$ см направлен вдоль оси, значит вершина $A$ ближе к линзе: $d_A=20-2=18$ см, тоже на оси. Катет $h=3$ см перпендикулярен оси, поэтому вершина $B$ поднята над $C$: $d_B=20$ см, высота $3$ см над осью.
Формула тонкой линзы: $\dfrac{1}{F}=\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f}$, откуда $f=\dfrac{dF}{d-F}$. Поперечное увеличение $\Gamma=\dfrac{f}{d}$ (изображение действительное и перевёрнутое).
Точка $C$: $f_C=\dfrac{20\cdot10}{20-10}=20$ см. Точка на оси — значит и изображение $C'$ на оси, в $20$ см за линзой.
Точка $A$: $f_A=\dfrac{18\cdot10}{18-10}=\dfrac{180}{8}=22{,}5$ см. Тоже на оси: $A'$ в $22{,}5$ см за линзой.
Точка $B$: расстояние такое же, как у $C$ ($d_B=20$ см), поэтому $f_B=20$ см, а увеличение $\Gamma_B=\dfrac{f_B}{d_B}=\dfrac{20}{20}=1$. Высота изображения $=\Gamma_B\cdot h=1\cdot3=3$ см (вниз, ведь изображение перевёрнуто). Значит $B'$ — в $20$ см за линзой, на $3$ см ниже оси.
Собираем изображения вершин: $C'$ — на оси (координата вдоль оси $20$ см), $A'$ — на оси ($22{,}5$ см), $B'$ — под осью (координата $20$ см, высота $-3$ см). Катет вдоль оси $C'A'=22{,}5-20=2{,}5$ см; катет поперёк оси $C'B'=3$ см. Эти два катета снова взаимно перпендикулярны (один вдоль оси, другой поперёк), то есть изображение — опять прямоугольный треугольник с прямым углом в $C'$.
$S'=\dfrac{1}{2}\cdot C'A'\cdot C'B'=\dfrac{1}{2}\cdot2{,}5\cdot3=3{,}75$ см$^2$.
Сравни с исходной площадью $\dfrac{1}{2}\cdot2\cdot3=3$ см$^2$: поперёк оси размер не изменился (в точке $2F$ увеличение равно $1$), а вдоль оси катет «вытянулся» с $2$ до $2{,}5$ см — потому что вершина $A$ стояла ближе $2F$ и её изображение ушло дальше. Поэтому площадь изображения не равна исходной.
$S'=3{,}75$ см$^2$