ID: 00019541
Равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ расположен перед тонкой собирающей линзой оптической силой $D=2{,}5$ дптр так, что его катет $AC$ лежит на главной оптической оси линзы (см. рисунок). Вершина прямого угла $C$ лежит ближе к центру линзы, чем вершина острого угла $A$. Расстояние от центра линзы до точки $A$ равно удвоенному фокусному расстоянию линзы, $AC=4$ см. Постройте изображение треугольника и найдите площадь получившейся фигуры.
Источник: ФИПИ
Оптическая сила задаёт фокусное расстояние линзы, а значит, и положение точек $A$ и $C$ относительно фокуса. Точка $A$ стоит ровно на двойном фокусе — её изображение получится точно на двойном фокусе с другой стороны линзы. Точка $C$ чуть ближе к линзе, поэтому её изображение уедет немного дальше за двойной фокус и слегка увеличится. Образ — снова прямоугольный треугольник, и нам нужно найти его катеты.
Фокусное расстояние линзы: $F=\dfrac{1}{D}=\dfrac{1}{2{,}5}=0{,}4$ м, то есть $40$ см. Тогда точка $A$ находится на расстоянии $d_A=2F=80$ см, а точка $C$ ближе на катет $AC$: $d_C=2F-AC=80-4=76$ см. Вершина $B$ стоит над $C$ на высоте $BC=AC=4$ см.
По формуле тонкой линзы $\dfrac{1}{F}=\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{f'}$. Для точки $A$ расстояние равно $2F$, поэтому её изображение тоже на двойном фокусе: $f'_A=80$ см (на самой оси). Для точки $C$: $f'_C=\dfrac{d_C\,F}{d_C-F}=\dfrac{76\cdot40}{76-40}=\dfrac{3040}{36}\approx84{,}4$ см. Увеличение в точке $C$: $\Gamma_C=\dfrac{f'_C}{d_C}=\dfrac{40}{36}=\dfrac{10}{9}\approx1{,}11$.
Один катет образа лежит вдоль оси — это разность положений изображений $C$ и $A$: $A'C'=f'_C-f'_A=\dfrac{3040}{36}-80=\dfrac{40}{9}\approx4{,}4$ см. Второй катет вертикальный — это образ высоты $B$: $C'B'=\Gamma_C\cdot BC=\dfrac{10}{9}\cdot4=\dfrac{40}{9}\approx4{,}4$ см. Прямой угол при вершине $C$ сохраняется, поэтому площадь $S=\dfrac{1}{2}\,A'C'\cdot C'B'=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{40}{9}\right)^{2}=\dfrac{800}{81}\approx9{,}9$ см².
$S\approx9{,}9$ см²