ID: 00019540
Равнобедренный прямоугольный треугольник ABC площадью 50 см² расположен перед тонкой собирающей линзой так, что его катет AC лежит на главной оптической оси линзы. Фокусное расстояние линзы 50 см. Вершина прямого угла C лежит дальше от центра линзы, чем вершина острого угла A. Расстояние от центра линзы до точки A равно удвоенному фокусному расстоянию линзы (см. рисунок). Постройте изображение треугольника и найдите площадь получившейся фигуры.
Источник: ФИПИ
Снова катет AC на оси, а вершина B над ним. Образ — треугольник A'B'C'. Но здесь, в отличие от близкого расположения, вершина C дальше от линзы, чем A, и весь треугольник стоит за 2F, поэтому изображение получится уменьшенным. Найдём образы трёх вершин и площадь.
Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника через равные катеты: \dfrac12 c^2 = 50 \Rightarrow c = 10 см, то есть CA = CB = 10 см. Фокус F = 50 см. Точка A на 2F = 100 см. Вершина C дальше: на 100 + 10 = 110 см. B над C (на 110 см, на высоте 10 см).
A в 2F — образ A' в 2F, на 100 см. Для C: f_C = \dfrac{d_C F}{d_C - F} = \dfrac{110\cdot 50}{110-50} = \dfrac{5500}{60} = \dfrac{275}{3} \approx 91{,}7 см.
Длина образа катета вдоль оси: A'C' = f_A - f_C = 100 - \dfrac{275}{3} = \dfrac{25}{3} \approx 8{,}33 см. Увеличение у C: \Gamma_C = \dfrac{f_C}{d_C} = \dfrac{275/3}{110} = \dfrac56, поэтому поперечный катет образа C'B' = \Gamma_C\cdot 10 = \dfrac{25}{3} \approx 8{,}33 см.
Угол при C' прямой, значит S = \dfrac12\,A'C'\cdot C'B' = \dfrac12\left(\dfrac{25}{3}\right)^2 = \dfrac{625}{18} \approx 34{,}7 см².
Ответ: S \approx 34{,}7 см² (точно \dfrac{625}{18} \approx 34{,}72 см²).
S ≈ 34,7 см² (точно 625/18 ≈ 34,72 см²)