ID: 00019540
Равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ площадью $50$ см² расположен перед тонкой собирающей линзой так, что его катет $AC$ лежит на главной оптической оси линзы. Фокусное расстояние линзы $50$ см. Вершина прямого угла $C$ лежит дальше от центра линзы, чем вершина острого угла $A$. Расстояние от центра линзы до точки $A$ равно удвоенному фокусному расстоянию линзы (см. рисунок). Постройте изображение треугольника и найдите площадь получившейся фигуры.
Источник: ФИПИ
Снова катет $AC$ на оси, а вершина $B$ над ним. Образ — треугольник $A'B'C'$. Но здесь, в отличие от близкого расположения, вершина $C$ дальше от линзы, чем $A$, и весь треугольник стоит за $2F$, поэтому изображение получится уменьшенным. Найдём образы трёх вершин и площадь.
Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника через равные катеты: $\dfrac12 c^2 = 50 \Rightarrow c = 10$ см, то есть $CA = CB = 10$ см. Фокус $F = 50$ см. Точка $A$ на $2F = 100$ см. Вершина $C$ дальше: на $100 + 10 = 110$ см. $B$ над $C$ (на $110$ см, на высоте $10$ см).
$A$ в $2F$ — образ $A'$ в $2F$, на $100$ см. Для $C$: $f_C = \dfrac{d_C F}{d_C - F} = \dfrac{110\cdot 50}{110-50} = \dfrac{5500}{60} = \dfrac{275}{3} \approx 91{,}7$ см.
Длина образа катета вдоль оси: $A'C' = f_A - f_C = 100 - \dfrac{275}{3} = \dfrac{25}{3} \approx 8{,}33$ см. Увеличение у $C$: $\Gamma_C = \dfrac{f_C}{d_C} = \dfrac{275/3}{110} = \dfrac56$, поэтому поперечный катет образа $C'B' = \Gamma_C\cdot 10 = \dfrac{25}{3} \approx 8{,}33$ см.
Угол при $C'$ прямой, значит $S = \dfrac12\,A'C'\cdot C'B' = \dfrac12\left(\dfrac{25}{3}\right)^2 = \dfrac{625}{18} \approx 34{,}7$ см².
S ≈ 34,7 см² (точно 625/18 ≈ 34,72 см²)