ID: 00019539
Равнобедренный прямоугольный треугольник ABC расположен перед тонкой собирающей линзой оптической силой 2{,}5 дптр так, что его катет AC лежит на главной оптической оси линзы (см. рисунок). Вершина прямого угла C лежит ближе к центру линзы, чем вершина острого угла A. Расстояние от центра линзы до точки A равно удвоенному фокусному расстоянию линзы, AC = 4 см. Постройте изображение треугольника и найдите площадь получившейся фигуры.
Источник: ФИПИ
Катет AC лежит на оси, поэтому его изображение тоже ляжет на ось, а вершину B (она над осью) линза перенесёт в точку B'. Получим снова треугольник A'B'C'. Хитрость в том, что точки A и C стоят на разном расстоянии от линзы, поэтому увеличиваются по-разному — фигура исказится. Найдём положения всех трёх образов и площадь.
Оптическая сила D = 2{,}5 дптр даёт фокус F = \dfrac1D = 0{,}4 м = 40 см. Точка A на оси на расстоянии 2F = 80 см. Вершина C ближе к линзе: на 80 - 4 = 76 см. Треугольник равнобедренный прямоугольный с прямым углом в C, поэтому катет CB = CA = 4 см, и B находится над C (на 76 см от линзы, на высоте 4 см).
Точка A стоит в 2F — её образ A' тоже в 2F, на 80 см. Для C: f_C = \dfrac{d_C F}{d_C - F} = \dfrac{76\cdot 40}{76-40} = \dfrac{3040}{36} \approx 84{,}4 см.
Длина изображения катета вдоль оси: A'C' = f_C - f_A = 84{,}4 - 80 = \dfrac{40}{9} \approx 4{,}44 см. Увеличение у точки C: \Gamma_C = \dfrac{f_C}{d_C} = \dfrac{10}{9}, поэтому поперечный катет образа C'B' = \Gamma_C\cdot 4 = \dfrac{40}{9} \approx 4{,}44 см.
Угол при C' остаётся прямым (один катет вдоль оси, другой поперёк), поэтому S = \dfrac12\,A'C'\cdot C'B' = \dfrac12\left(\dfrac{40}{9}\right)^2 = \dfrac{800}{81} \approx 9{,}9 см².
Ответ: S \approx 9{,}9 см² (точно \dfrac{800}{81} \approx 9{,}88 см²).
S ≈ 9,9 см² (точно 800/81 ≈ 9,88 см²)