ID: 00019539
Равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ расположен перед тонкой собирающей линзой оптической силой $2{,}5$ дптр так, что его катет $AC$ лежит на главной оптической оси линзы (см. рисунок). Вершина прямого угла $C$ лежит ближе к центру линзы, чем вершина острого угла $A$. Расстояние от центра линзы до точки $A$ равно удвоенному фокусному расстоянию линзы, $AC = 4$ см. Постройте изображение треугольника и найдите площадь получившейся фигуры.
Источник: ФИПИ
Катет $AC$ лежит на оси, поэтому его изображение тоже ляжет на ось, а вершину $B$ (она над осью) линза перенесёт в точку $B'$. Получим снова треугольник $A'B'C'$. Хитрость в том, что точки $A$ и $C$ стоят на разном расстоянии от линзы, поэтому увеличиваются по-разному — фигура исказится. Найдём положения всех трёх образов и площадь.
Оптическая сила $D = 2{,}5$ дптр даёт фокус $F = \dfrac1D = 0{,}4$ м $= 40$ см. Точка $A$ на оси на расстоянии $2F = 80$ см. Вершина $C$ ближе к линзе: на $80 - 4 = 76$ см. Треугольник равнобедренный прямоугольный с прямым углом в $C$, поэтому катет $CB = CA = 4$ см, и $B$ находится над $C$ (на $76$ см от линзы, на высоте $4$ см).
Точка $A$ стоит в $2F$ — её образ $A'$ тоже в $2F$, на $80$ см. Для $C$: $f_C = \dfrac{d_C F}{d_C - F} = \dfrac{76\cdot 40}{76-40} = \dfrac{3040}{36} \approx 84{,}4$ см.
Длина изображения катета вдоль оси: $A'C' = f_C - f_A = 84{,}4 - 80 = \dfrac{40}{9} \approx 4{,}44$ см. Увеличение у точки $C$: $\Gamma_C = \dfrac{f_C}{d_C} = \dfrac{10}{9}$, поэтому поперечный катет образа $C'B' = \Gamma_C\cdot 4 = \dfrac{40}{9} \approx 4{,}44$ см.
Угол при $C'$ остаётся прямым (один катет вдоль оси, другой поперёк), поэтому $S = \dfrac12\,A'C'\cdot C'B' = \dfrac12\left(\dfrac{40}{9}\right)^2 = \dfrac{800}{81} \approx 9{,}9$ см².
S ≈ 9,9 см² (точно 800/81 ≈ 9,88 см²)