ID: 00019538
Условимся считать изображение на плёнке фотоаппарата резким, если вместо идеального изображения в виде точки на плёнке получается изображение пятна диаметром не более $0{,}05$ мм. Поэтому если объектив находится на фокусном расстоянии от плёнки, то резкими считаются не только бесконечно удалённые предметы, но и все предметы, находящиеся дальше некоторого расстояния $d$. Найдите фокусное расстояние объектива, если при «относительном отверстии» $a = 4$ резкими оказались все предметы далее $12{,}5$ м. («Относительное отверстие» — это отношение фокусного расстояния к диаметру входного отверстия объектива.) Сделайте рисунок, поясняющий образование пятна.
Источник: ФИПИ
Плёнка стоит в фокальной плоскости (объектив наведён на бесконечность). Предмет на конечном расстоянии $d$ даёт чёткое изображение чуть дальше плёнки, поэтому на самой плёнке вместо точки получается светлый кружок — «пятно нерезкости». Чем ближе предмет, тем больше кружок. Граница резкости — когда диаметр кружка равен допустимому $\delta = 0{,}05$ мм.
По формуле тонкой линзы для предмета на расстоянии $d$: $\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{F} - \dfrac{1}{d}$, поэтому изображение оказывается за плёнкой, дальше неё на $f - F = \dfrac{F^2}{d-F}$.
Сходящийся конус лучей опирается на оправу диаметром $D$. На плёнке (в фокусе) он даёт кружок $\delta = D\cdot\dfrac{f-F}{f}$. После упрощения получается удобная формула $\delta = \dfrac{D\,F}{d}$.
Относительное отверстие $a = \dfrac{F}{D}$, значит $D = \dfrac{F}{a}$. Подставляем: $\delta = \dfrac{F^2}{a\,d}$, откуда $F = \sqrt{\delta\,a\,d}$.
$F = \sqrt{0{,}05\cdot 10^{-3}\,\text{м}\cdot 4\cdot 12{,}5\,\text{м}} = \sqrt{2{,}5\cdot 10^{-3}}\ \text{м} = 0{,}05$ м $= 5$ см.
F = 5 см (0,05 м)