Электростатика — Задание 25 ЕГЭ по физике №00019527

Идея

Перед нами «мостик» из четырёх конденсаторов: сверху последовательно $C_1$ и $C_2$, снизу — $C_3$ и $C_4$, а их средние точки соединены перемычкой (см. рисунок). Сначала проверим, заряжена ли перемычка — окажется, что мост сбалансирован и через неё заряд не идёт. Потом «сломаем» $C_3$ (пробой — это когда конденсатор превращается в проводник) и пересчитаем энергию. Энергию батареи конденсаторов удобно считать через общую ёмкость: $W=\dfrac{1}{2}C_\text{общ}\varepsilon^2$, поэтому достаточно найти общую ёмкость до и после пробоя.

Шаг 1. Что до пробоя

Обозначим $L$ — узел у минуса источника, $N$ — у плюса, $M$ — средняя точка моста. По верхней ветви напряжение делится между $C_1$ и $C_2$, и потенциал средней точки $\varphi_M=\varepsilon\,\dfrac{C_2}{C_1+C_2}=\varepsilon\,\dfrac{C}{3C}=\dfrac{\varepsilon}{3}$. По нижней ветви $\varphi_M=\varepsilon\,\dfrac{C_4}{C_3+C_4}=\varepsilon\,\dfrac{2C}{6C}=\dfrac{\varepsilon}{3}$. Потенциалы совпали — мост сбалансирован, перемычка «мёртвая», заряд по ней не течёт.

Шаг 2. Общая ёмкость и энергия до пробоя

Между $L$ и $M$ параллельно стоят $C_1$ и $C_3$: $C_\text{лев}=2C+4C=6C$. Между $M$ и $N$ — $C_2$ и $C_4$: $C_\text{прав}=C+2C=3C$. Они соединены последовательно:

$C_\text{общ}=\dfrac{C_\text{лев}\,C_\text{прав}}{C_\text{лев}+C_\text{прав}}=\dfrac{6C\cdot3C}{6C+3C}=\dfrac{18C}{9}=2C.$

Энергия $W_1=\dfrac{1}{2}C_\text{общ}\varepsilon^2=\dfrac{1}{2}\cdot2C\cdot\varepsilon^2=C\varepsilon^2.$

Шаг 3. Пробой $C_3$

Пробой $C_3$ — это проводник между $L$ и $M$, поэтому теперь $M=L$ (средняя точка «садится» на минус источника). Тогда $C_1$ оказывается под нулевым напряжением (обе его обкладки в узле $L$) и энергии не запасает, а $C_2$ и $C_4$ оба оказываются прямо между $L$ и $N$, под полным напряжением источника $\varepsilon$:

$C_\text{общ}'=C_2+C_4=C+2C=3C.$

Энергия $W_2=\dfrac{1}{2}\cdot3C\cdot\varepsilon^2=\dfrac{3C\varepsilon^2}{2}.$

Шаг 4. Изменение энергии

$\Delta W=W_2-W_1=\dfrac{3C\varepsilon^2}{2}-C\varepsilon^2=\dfrac{C\varepsilon^2}{2}\gt0.$

Энергия батареи увеличилась. Это логично: пробой увеличил общую ёмкость (с $2C$ до $3C$) при той же ЭДС, поэтому источник дозакачал в батарею дополнительный заряд и дополнительную энергию.