ID: 00019527
Четыре конденсатора подключены к источнику тока, как показано на рисунке. ЭДС источника равна \varepsilon, его внутреннее сопротивление r, ёмкости конденсаторов C_1=2C, C_2=C, C_3=4C, C_4=2C (в мкФ). На сколько и как изменится общая энергия, запасённая в батарее конденсаторов, если в конденсаторе C_3 возникнет пробой?
Источник: ФИПИ
Перед нами «мостик» из четырёх конденсаторов: сверху последовательно C_1 и C_2, снизу — C_3 и C_4, а их средние точки соединены перемычкой (см. рисунок). Сначала проверим, заряжена ли перемычка — окажется, что мост сбалансирован и через неё заряд не идёт. Потом «сломаем» C_3 (пробой — это когда конденсатор превращается в проводник) и пересчитаем энергию. Энергию батареи конденсаторов удобно считать через общую ёмкость: W=\dfrac{1}{2}C_\text{общ}\varepsilon^2, поэтому достаточно найти общую ёмкость до и после пробоя.
Обозначим L — узел у минуса источника, N — у плюса, M — средняя точка моста. По верхней ветви напряжение делится между C_1 и C_2, и потенциал средней точки \varphi_M=\varepsilon\,\dfrac{C_2}{C_1+C_2}=\varepsilon\,\dfrac{C}{3C}=\dfrac{\varepsilon}{3}. По нижней ветви \varphi_M=\varepsilon\,\dfrac{C_4}{C_3+C_4}=\varepsilon\,\dfrac{2C}{6C}=\dfrac{\varepsilon}{3}. Потенциалы совпали — мост сбалансирован, перемычка «мёртвая», заряд по ней не течёт.
Между L и M параллельно стоят C_1 и C_3: C_\text{лев}=2C+4C=6C. Между M и N — C_2 и C_4: C_\text{прав}=C+2C=3C. Они соединены последовательно:
C_\text{общ}=\dfrac{C_\text{лев}\,C_\text{прав}}{C_\text{лев}+C_\text{прав}}=\dfrac{6C\cdot3C}{6C+3C}=\dfrac{18C}{9}=2C.
Энергия W_1=\dfrac{1}{2}C_\text{общ}\varepsilon^2=\dfrac{1}{2}\cdot2C\cdot\varepsilon^2=C\varepsilon^2.
Пробой C_3 — это проводник между L и M, поэтому теперь M=L (средняя точка «садится» на минус источника). Тогда C_1 оказывается под нулевым напряжением (обе его обкладки в узле L) и энергии не запасает, а C_2 и C_4 оба оказываются прямо между L и N, под полным напряжением источника \varepsilon:
C_\text{общ}'=C_2+C_4=C+2C=3C.
Энергия W_2=\dfrac{1}{2}\cdot3C\cdot\varepsilon^2=\dfrac{3C\varepsilon^2}{2}.
\Delta W=W_2-W_1=\dfrac{3C\varepsilon^2}{2}-C\varepsilon^2=\dfrac{C\varepsilon^2}{2}\gt0.
Энергия батареи увеличилась. Это логично: пробой увеличил общую ёмкость (с 2C до 3C) при той же ЭДС, поэтому источник дозакачал в батарею дополнительный заряд и дополнительную энергию.
Ответ: общая энергия увеличится на \Delta W=\dfrac{C\varepsilon^2}{2}.
Энергия увеличится на \Delta W=\dfrac{C\varepsilon^2}{2}