ID: 00019520
В электрической цепи, схема которой изображена на рисунке, конденсатор $C$ изначально не заряжен. Ключ $K$ переводят в положение 1. Затем, спустя очень большое время, переключают его в положение 2 и снова ждут в течение достаточно большого промежутка времени. В результате перевода ключа в положение 2 энергия конденсатора увеличивается в $n = 9$ раз. Найдите сопротивление резистора $R_2$, если $R_1 = 10$ Ом.
Источник: ФИПИ
В установившемся режиме ток через конденсатор не течёт, поэтому его напряжение равно напряжению на том участке цепи, к которому он подключён ключом. В двух положениях ключа конденсатор «смотрит» на разные участки; из отношения энергий найдём $R_2$.
Резисторы $R_1$ и $R_2$ включены последовательно, через них идёт один и тот же ток $I = \dfrac{E}{r + R_1 + R_2}$. В положении 1 конденсатор подключён к $R_1$: $U_1 = IR_1$. В положении 2 — к участку $R_1 + R_2$: $U_2 = I(R_1 + R_2)$.
Энергия конденсатора $W = \dfrac{1}{2}CU^2$, поэтому рост в $n$ раз даёт $\dfrac{U_2}{U_1} = \sqrt{n}$. Значит $\dfrac{U_2}{U_1} = \dfrac{R_1 + R_2}{R_1} = \sqrt{n}$ (ЭДС и $r$ при этом сокращаются, и ответ от них не зависит).
$\dfrac{R_1 + R_2}{R_1} = \sqrt{9} = 3 \Rightarrow R_2 = R_1(\sqrt{n} - 1) = 10\cdot(3 - 1) = 20$ Ом.
$R_2 = 20$ Ом