Электростатика — Задание 25 ЕГЭ по физике №00019517

Идея

Главное — заметить, что конденсатор всё время остаётся подключённым к источнику. Значит напряжение на нём держится постоянным: $U = 50$ В, как ни тяни пластину. А вот ёмкость при вытаскивании диэлектрика падает: с диэлектриком она равна $C$, а без него станет в $\varepsilon$ раз меньше, $C_0 = C/\varepsilon$. Здесь в игре сразу три «кошелька энергии»: наша внешняя сила (её работа $A$ — то, что мы ищем), источник (он подкачивает или забирает заряд, совершая работу $A_{ист}$) и само поле конденсатора (его энергия $W$ меняется). Связывает их закон сохранения энергии: $A + A_{ист} = \Delta W$.

Шаг 1. Что с ёмкостью и зарядом

С диэлектриком $C = 100$ пФ, без него $C_0 = \dfrac{C}{\varepsilon} = \dfrac{100}{7}$ пФ — ёмкость уменьшилась. При постоянном $U$ заряд на обкладках тоже уменьшается: было $q = CU$, стало $q_0 = C_0 U$. Разность $\Delta q = q_0 - q = (C_0 - C)U \lt 0$ — лишний заряд утёк обратно в источник.

Шаг 2. Энергия поля и работа источника

Энергия конденсатора $W = \dfrac{CU^2}{2}$, поэтому её изменение $\Delta W = \dfrac{C_0 U^2}{2} - \dfrac{C U^2}{2} = \dfrac{U^2}{2}(C_0 - C)$ — оно отрицательное, поле «похудело». Источник при постоянном напряжении совершает работу $A_{ист} = U\,\Delta q = U^2 (C_0 - C)$. Обрати внимание на ловушку: по модулю работа источника ровно вдвое больше изменения энергии поля — именно поэтому нельзя просто приравнять нашу работу к $\Delta W$.

Шаг 3. Выражаем нашу работу

Подставляем в баланс $A + A_{ист} = \Delta W$ и выражаем $A$:

$A = \Delta W - A_{ист} = \dfrac{U^2}{2}(C_0 - C) - U^2(C_0 - C) = -\dfrac{U^2}{2}(C_0 - C) = \dfrac{U^2}{2}(C - C_0)$.

Так как $C_0 = C/\varepsilon$, то $C - C_0 = C\left(1 - \dfrac{1}{\varepsilon}\right)$, и окончательно

$A = \dfrac{U^2 C}{2}\left(1 - \dfrac{1}{\varepsilon}\right)$.

Работа получилась положительной — и это логично: поле втягивает диэлектрик обратно, поэтому, чтобы его вытащить, нам приходится тянуть и совершать положительную работу.

Шаг 4. Подставляем числа

Переведём ёмкость в фарады: $C = 100$ пФ $= 100 \cdot 10^{-12}$ Ф $= 10^{-10}$ Ф. Тогда

$A = \dfrac{(50)^2 \cdot 100 \cdot 10^{-12}}{2}\left(1 - \dfrac{1}{7}\right) = \dfrac{2500 \cdot 10^{-10}}{2} \cdot \dfrac{6}{7} = 1{,}25 \cdot 10^{-7} \cdot \dfrac{6}{7} \approx 1{,}07 \cdot 10^{-7}$ Дж.

Переведём в микроджоули: $1{,}07 \cdot 10^{-7}$ Дж $= 0{,}107 \cdot 10^{-6}$ Дж $= 0{,}107$ мкДж. Следи за степенью десятки — здесь легко промахнуться на порядок-два.