ID: 00019517
Плоский конденсатор имеет между своими обкладками пластину из твёрдого диэлектрика с диэлектрической проницаемостью \varepsilon = 7, полностью заполняющую зазор между ними. Ёмкость конденсатора при этом равна C = 100 пФ. Конденсатор подсоединён к источнику с напряжением U = 50 В. Какую работу A надо совершить, чтобы медленно вытянуть диэлектрическую пластину из конденсатора? Трения нет.
Источник: ФИПИ
Главное — заметить, что конденсатор всё время остаётся подключённым к источнику. Значит напряжение на нём держится постоянным: U = 50 В, как ни тяни пластину. А вот ёмкость при вытаскивании диэлектрика падает: с диэлектриком она равна C, а без него станет в \varepsilon раз меньше, C_0 = C/\varepsilon. Здесь в игре сразу три «кошелька энергии»: наша внешняя сила (её работа A — то, что мы ищем), источник (он подкачивает или забирает заряд, совершая работу A_{ист}) и само поле конденсатора (его энергия W меняется). Связывает их закон сохранения энергии: A + A_{ист} = \Delta W.
С диэлектриком C = 100 пФ, без него C_0 = \dfrac{C}{\varepsilon} = \dfrac{100}{7} пФ — ёмкость уменьшилась. При постоянном U заряд на обкладках тоже уменьшается: было q = CU, стало q_0 = C_0 U. Разность \Delta q = q_0 - q = (C_0 - C)U \lt 0 — лишний заряд утёк обратно в источник.
Энергия конденсатора W = \dfrac{CU^2}{2}, поэтому её изменение \Delta W = \dfrac{C_0 U^2}{2} - \dfrac{C U^2}{2} = \dfrac{U^2}{2}(C_0 - C) — оно отрицательное, поле «похудело». Источник при постоянном напряжении совершает работу A_{ист} = U\,\Delta q = U^2 (C_0 - C). Обрати внимание на ловушку: по модулю работа источника ровно вдвое больше изменения энергии поля — именно поэтому нельзя просто приравнять нашу работу к \Delta W.
Подставляем в баланс A + A_{ист} = \Delta W и выражаем A:
A = \Delta W - A_{ист} = \dfrac{U^2}{2}(C_0 - C) - U^2(C_0 - C) = -\dfrac{U^2}{2}(C_0 - C) = \dfrac{U^2}{2}(C - C_0).
Так как C_0 = C/\varepsilon, то C - C_0 = C\left(1 - \dfrac{1}{\varepsilon}\right), и окончательно
A = \dfrac{U^2 C}{2}\left(1 - \dfrac{1}{\varepsilon}\right).
Работа получилась положительной — и это логично: поле втягивает диэлектрик обратно, поэтому, чтобы его вытащить, нам приходится тянуть и совершать положительную работу.
Переведём ёмкость в фарады: C = 100 пФ = 100 \cdot 10^{-12} Ф = 10^{-10} Ф. Тогда
A = \dfrac{(50)^2 \cdot 100 \cdot 10^{-12}}{2}\left(1 - \dfrac{1}{7}\right) = \dfrac{2500 \cdot 10^{-10}}{2} \cdot \dfrac{6}{7} = 1{,}25 \cdot 10^{-7} \cdot \dfrac{6}{7} \approx 1{,}07 \cdot 10^{-7} Дж.
Переведём в микроджоули: 1{,}07 \cdot 10^{-7} Дж = 0{,}107 \cdot 10^{-6} Дж = 0{,}107 мкДж. Следи за степенью десятки — здесь легко промахнуться на порядок-два.
Ответ: A ≈ 1,07·10⁻⁷ Дж ≈ 0,107 мкДж
A ≈ 1,07·10−7 Дж ≈ 0,107 мкДж