Идея

Ключ K стоит в проводе между конденсатором C и резистором R. Пока K замкнут, по цепи идёт ток через R, и конденсатор заряжен до напряжения на R — оно меньше ЭДС из-за падения на внутреннем сопротивлении r. Как только K размыкают, резистор R отключается, ток через него пропадает, и конденсатор спокойно дозаряжается до полной ЭДС источника. Тепло выделяется именно при этом дозаряде. Найдём его из закона сохранения энергии: работа источника = прирост энергии конденсатора + выделившееся тепло.

Шаг 1. Напряжение на C при замкнутом K

При замкнутом K источник гонит ток через R. В установившемся режиме через конденсатор тока нет, поэтому ток в цепи I=\dfrac{\varepsilon}{r+R}. Конденсатор подключён параллельно R, значит на нём напряжение

U_1=IR=\dfrac{\varepsilon R}{r+R}=\dfrac{2\cdot4000}{100+4000}=\dfrac{8000}{4100}\approx1{,}951 В.

Шаг 2. Напряжение на C после размыкания K

Разомкнули K — резистор R повис «в воздухе», ток через него больше не течёт. Теперь конденсатор соединён только с источником через r. В новом установившемся состоянии тока опять нет, а раз тока нет — нет и падения на r, поэтому конденсатор заряжается до полной ЭДС:

U_2=\varepsilon=2 В.

То есть конденсатор дозарядился с 1{,}951 В до 2 В.

Шаг 3. Сохранение энергии при дозаряде

Через источник прошёл дополнительный заряд \Delta q=C(U_2-U_1). Источник совершил работу A=\varepsilon\,\Delta q=\varepsilon C(U_2-U_1). Часть её пошла в прирост энергии конденсатора \Delta W_C=\dfrac{1}{2}C(U_2^2-U_1^2), остальное выделилось теплом Q:

Q=A-\Delta W_C=\varepsilon C(U_2-U_1)-\dfrac{1}{2}C(U_2^2-U_1^2).

Так как U_2=\varepsilon, выражение красиво сворачивается:

Q=\dfrac{1}{2}C(\varepsilon-U_1)^2=\dfrac{1}{2}C\left(\dfrac{\varepsilon r}{r+R}\right)^2.

Шаг 4. Считаем

\varepsilon-U_1=\dfrac{\varepsilon r}{r+R}=\dfrac{2\cdot100}{4100}\approx0{,}0488 В.

Q=\dfrac{1}{2}\cdot0{,}1\cdot10^{-6}\cdot(0{,}0488)^2\approx1{,}2\cdot10^{-10} Дж.

Теплоты выделяется совсем чуть-чуть — и это физично: из-за того, что r во много раз меньше R, конденсатор и так был заряжен почти до полной ЭДС, дозаряжать пришлось всего на \approx0{,}05 В.

Ответ: Q=\dfrac{C\varepsilon^2 r^2}{2(r+R)^2}\approx1{,}2\cdot10^{-10} Дж.