ID: 00019514
Какое количество теплоты выделится в схеме, изображённой на рисунке, после размыкания ключа $K$? Параметры цепи: $\varepsilon=2$ В, $r=100$ Ом, $C=0{,}1$ мкФ, $R=4$ кОм.
Источник: ФИПИ
Ключ $K$ стоит в проводе между конденсатором $C$ и резистором $R$. Пока $K$ замкнут, по цепи идёт ток через $R$, и конденсатор заряжен до напряжения на $R$ — оно меньше ЭДС из-за падения на внутреннем сопротивлении $r$. Как только $K$ размыкают, резистор $R$ отключается, ток через него пропадает, и конденсатор спокойно дозаряжается до полной ЭДС источника. Тепло выделяется именно при этом дозаряде. Найдём его из закона сохранения энергии: работа источника $=$ прирост энергии конденсатора $+$ выделившееся тепло.
При замкнутом $K$ источник гонит ток через $R$. В установившемся режиме через конденсатор тока нет, поэтому ток в цепи $I=\dfrac{\varepsilon}{r+R}$. Конденсатор подключён параллельно $R$, значит на нём напряжение
$U_1=IR=\dfrac{\varepsilon R}{r+R}=\dfrac{2\cdot4000}{100+4000}=\dfrac{8000}{4100}\approx1{,}951$ В.
Разомкнули $K$ — резистор $R$ повис «в воздухе», ток через него больше не течёт. Теперь конденсатор соединён только с источником через $r$. В новом установившемся состоянии тока опять нет, а раз тока нет — нет и падения на $r$, поэтому конденсатор заряжается до полной ЭДС:
$U_2=\varepsilon=2$ В.
То есть конденсатор дозарядился с $1{,}951$ В до $2$ В.
Через источник прошёл дополнительный заряд $\Delta q=C(U_2-U_1)$. Источник совершил работу $A=\varepsilon\,\Delta q=\varepsilon C(U_2-U_1)$. Часть её пошла в прирост энергии конденсатора $\Delta W_C=\dfrac{1}{2}C(U_2^2-U_1^2)$, остальное выделилось теплом $Q$:
$Q=A-\Delta W_C=\varepsilon C(U_2-U_1)-\dfrac{1}{2}C(U_2^2-U_1^2).$
Так как $U_2=\varepsilon$, выражение красиво сворачивается:
$Q=\dfrac{1}{2}C(\varepsilon-U_1)^2=\dfrac{1}{2}C\left(\dfrac{\varepsilon r}{r+R}\right)^2.$
$\varepsilon-U_1=\dfrac{\varepsilon r}{r+R}=\dfrac{2\cdot100}{4100}\approx0{,}0488$ В.
$Q=\dfrac{1}{2}\cdot0{,}1\cdot10^{-6}\cdot(0{,}0488)^2\approx1{,}2\cdot10^{-10}$ Дж.
Теплоты выделяется совсем чуть-чуть — и это физично: из-за того, что $r$ во много раз меньше $R$, конденсатор и так был заряжен почти до полной ЭДС, дозаряжать пришлось всего на $\approx0{,}05$ В.
$Q=\dfrac{C\varepsilon^2 r^2}{2(r+R)^2}\approx1{,}2\cdot10^{-10}$ Дж